Войти Регистрация Спроси ai-bota

Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) взята точка О так, что треугольники ОАВ, ОАС, ОВС равновелики. Найти длину ОС, если известно, что ОA^2+ОВ^2=m.

Показать ответ

Ответ:

Dimaska123

14.02.2022 16:48

ОС=

$\ \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Объяснение:

Проведём перпендикуляры ОМ⟂АС и ON⟂BC. Площадь прямоугольного треугольника АВС:

$S = \dfrac{1}{2} \times AC \times BC$

Так как точка О разбивает треугольник ABC на 3 равновеликих треугольника то площадь треугольника АОС будет равна:

$S(AOC) = \dfrac{1}{3} \times S = \dfrac{1}{3 } \times \dfrac{1}{2} \times AC \times BC = \dfrac{1}{6} \times AC \times BC$

С другой стороны:

$S(AOC) = \dfrac{1}{2} \times AC \times OM$

Получаем:

$\dfrac{1}{6} \times AC \times BC = \dfrac{1}{2} \times OM \times AC \\ \\ BC = 3OM \\ \\ OM = \dfrac{1}{3} BC$

Аналогично получаем, что

$ON = \dfrac{1}{3} AC$

Так как ONMC - прямоугольник, то NC=OM, MC=ON.

$AM = AC - MC = AC - \dfrac{1}{3} AC = \dfrac{2}{3} AC$

Аналогично:

$BN = \dfrac{2}{3} \times BC$

Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём гипотезы треугольников АОМ, BON, COM:

${OA}^{2} = {AM}^{2} + {OM}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} \\ \\ {OB}^{2} = {BN}^{2} + {ON}^{2} = \frac{4}{9} {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2} \\ \\ {OC}^{2} = {OM}^{2} + {MC}^{2} = \frac{1}{9 } {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2}$

Отсюда следует:

${OA}^{2} + {OB}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} + \dfrac{4}{9} {BC}^{2} + \dfrac{1}{9} {AC}^{2} = \\ \\ = \dfrac{5}{9} {AC}^{2} + \dfrac{5}{9} {BC}^{2} = 5( \dfrac{1}{9 } {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} ) = 5 {OC}^{2}$

Так как по условию задачи

${OA}^{2} + {OB}^{2} = m$

то

$5 {OC}^{2} = m \\ OC = \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) взята точка О так, что треугольники ОАВ, ОАС,

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

dkhairov1993

28.04.2020 23:50

2. длина отрезка de равна 11 м и lk: de=4: 1. вычисли длину отрезка lk. 3. длина отрезка ab равна 48. на отрезке отложена точка c. вычисли длины частей отрезка, если ac: cb=1:...

marinakulkova1

19.03.2021 01:18

(метка : са-22, вариант а2, 1) основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 см и 16 см. высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 12 см. а) докажите,...

fedia24

19.03.2021 01:18

1.на отрезки ав длиной 20 см отмечена точка с.найти длины отрезков аи и вс, если ас на 4 см длиннее отрезка вс. 2.признаки равенства прямоугольных треугольников. 3.две параллельные...

Edward11111111

23.04.2022 21:08

Дан треугольник авс, угол с = 90°, вс = а, угол сав = α (альфа). найти: 1) ас, 2) ав; 3) площадь авс; 4) периметр авс....

maksim15m15

07.09.2022 18:00

Один острый угол прямоугольного треугольника в 17 раз больше другого. найдите углы этого треугольника. подробно...

ВенераРезанова

17.12.2021 00:27

Раздел 2 упражнения в таблицах (7 класс) углы треугольника...

Айхан111111111

08.07.2021 16:24

Дано AB=12см найти BC...

toktogulovadanna77

13.01.2021 09:16

Только 2 вариант и все...

Арпинэ1

13.01.2021 09:16

Find definitions of the words.(Соедините...

H2Oя

28.04.2023 23:36

с музоном Опера и рок-опера Орфей и Эвридика . Сравни образы рок-оперы А. Журбина и образами оперы К.Глюка. Что вних общего? Что их различает?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку