Внутри прямоугольника abcd расположены две равные окружности касающиеся трех сторон прямоугольника друг-друга найдите периметр данного прямоугольника если его большая сторона равна 6
1). Построим описанную окружность с центром в т. М Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС, что и угол ∠АВС. Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4 CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC => => BC = 2MC*cos15°
Пусть дан параллелограмм ABCD, где BH и BK - высоты параллелограмма BH пересекает AD в точке H, а BK пересекает DC в точке K проведем DB - диагональ и рассмотрим треугольник ABD - равнобедренный, так как BH -высота и медиана (по усл), тогда AB=BD аналогично треугольник BDC - равнобедренный, BD=BC AB=BD=BC, значит стороны параллелограмма равны. BHD - прямоугольный, HD=1/2 BD, значит <HBD=30, тогда <BDH=60 <BDH=<BAH=60 < BAD=BCD=60 (по свойству параллелограмма) <ABC=<CDA=120 ответ: 60; 60; 120; 120
Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС,
что и угол ∠АВС.
Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4
CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC =>
=> BC = 2MC*cos15°
В ΔМНС: МН = МС*cos30° = MC*√3/2
Тогда:
BH пересекает AD в точке H, а BK пересекает DC в точке K
проведем DB - диагональ и рассмотрим треугольник ABD - равнобедренный, так как BH -высота и медиана (по усл), тогда AB=BD
аналогично треугольник BDC - равнобедренный, BD=BC
AB=BD=BC, значит стороны параллелограмма равны.
BHD - прямоугольный, HD=1/2 BD, значит <HBD=30, тогда <BDH=60
<BDH=<BAH=60
< BAD=BCD=60 (по свойству параллелограмма)
<ABC=<CDA=120
ответ: 60; 60; 120; 120