Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Определение:
Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, все боковые грани равнобедренные треугольники, а вершина проецируется в центр основания.
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
Для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани).
См. рисунок, данный в приложении.
По условию АН=3 см, МО=√3 см
Центр основания пирамиды является центром вписнной в нее окружности с радиусом ОН.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты.
r=ОН=1/3 АН=1 (см)
⊿ МНО прямоугольный, МH=√(MO² +OH² )=√4
МН=2 (см)
Все углы ∆ АВС=60°
ВС=АС=АВ=АН:sin 60°
BC=3•2:√3=2√3
По формуле площади правильного треугольника S=a²√3):4
S (осн)={(2√3)²•√3}:4=3√3 (см²)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Примем дугу ЕКН за х
Тогда дуга ЕАН=х+90
В сумме эти две дуги составляют 360 градусов.
х+х+90=360
2х=360-90
2х=270
х=135
х+90=135+90=225
Вписанный угол ЕАН опирается на дугу, равную 135 градусов. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу
135:2=67,5
Вписанный угол ЕКН опирается на дугу, равную 225 градусов.
Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу и равен
225:2=112, 5
Вписанный угол ЕКА опирается на дугу 180 градусов, и равен половине центрального угла 180 градусов
180:2=90
угол ЕАН=67,5ᵒ
угол ЕКН=112, 5ᵒ
угол ЕКА=90ᵒ
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Определение:
Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, все боковые грани равнобедренные треугольники, а вершина проецируется в центр основания.Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
Для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани).
См. рисунок, данный в приложении.
По условию АН=3 см, МО=√3 см
Центр основания пирамиды является центром вписнной в нее окружности с радиусом ОН.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты.
r=ОН=1/3 АН=1 (см)
⊿ МНО прямоугольный, МH=√(MO² +OH² )=√4
МН=2 (см)
Все углы ∆ АВС=60°
ВС=АС=АВ=АН:sin 60°
BC=3•2:√3=2√3
По формуле площади правильного треугольника S=a²√3):4
S (осн)={(2√3)²•√3}:4=3√3 (см²)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
S (бок)=МН•(АВ+ВС+АС):2
S (бок)=2•3•(2√3):2=6√3 (см²)
S (полн)=3√3+6√3= 9√3≈15,588 см²