Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 3см і 10см. Знайдіть бічну сторону трапеції (у см), якщо у цю трапецію можна вписати коло.
1. По теореме Фалеса: ВЕ:ВА=ВО:ВD=CO:CA=CF:CD=k Треугольники ВЕО и BAD подобны с коэффициентом подобия k ( EO || AD). EO:AD=k ⇒ EO=k·AD. Треугольники COF и CAD подобны с коэффициентом подобия k ( OF || AD). OF=k·AD.
EO=OF=k·AD
2. Пусть а и b - основания трапеции, a < b; с - боковая сторона. Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который может быть вписана окружность, равны. a+b=c+c По условию Р=80 a+b+2c=80 (a+b)+(a+b)=80 ⇒ a+b=2c=40 ⇒ c=20 S=(a+b)h/2 320=40·h/2 ⇒ h=16 Проведем из вершин верхнего основания высоты. Высоты разбивают трапецию на прямоугольник со сторонами а и 16 и два равных прямоугольных треугольника с катетами h=16 и (b-a)/2 По теореме Пифагора: ((b-a)/2)²=c²-h²=20²-16²=400-256=144=12² (b-a)/2=12 b-a=24 a+b=40 2b=64 b=32 a=8
Треугольники ВОС и АОD подобны. Пусть расстояние от точки О до ВС равно х, тогда расстояние от точки О до AD равно (16-х) Из подобия ВС: AD=x:(16-x); 8:32=x:(16-x); 32x=128-8x; 32x+8x=128; 40x=128; x=3,2 О т в е т. 3,2 .
ВЕ:ВА=ВО:ВD=CO:CA=CF:CD=k
Треугольники ВЕО и BAD подобны с коэффициентом подобия k ( EO || AD).
EO:AD=k ⇒ EO=k·AD.
Треугольники COF и CAD подобны с коэффициентом подобия k ( OF || AD).
OF=k·AD.
EO=OF=k·AD
2.
Пусть а и b - основания трапеции, a < b;
с - боковая сторона.
Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который может быть вписана окружность, равны.
a+b=c+c
По условию
Р=80
a+b+2c=80
(a+b)+(a+b)=80 ⇒ a+b=2c=40 ⇒ c=20
S=(a+b)h/2
320=40·h/2 ⇒ h=16
Проведем из вершин верхнего основания высоты.
Высоты разбивают трапецию на прямоугольник со сторонами а и 16 и два равных прямоугольных треугольника с катетами h=16 и (b-a)/2
По теореме Пифагора:
((b-a)/2)²=c²-h²=20²-16²=400-256=144=12²
(b-a)/2=12
b-a=24
a+b=40
2b=64
b=32
a=8
Треугольники ВОС и АОD подобны.
Пусть расстояние от точки О до ВС равно х, тогда расстояние от точки О до AD равно (16-х)
Из подобия
ВС: AD=x:(16-x);
8:32=x:(16-x);
32x=128-8x;
32x+8x=128;
40x=128;
x=3,2
О т в е т. 3,2 .
у = (3+0)/2 = 1,5
z = (2 +2)/2 = 2
О(0; 1,5;2 ) Пусть В(х';y';z'))
(x' + 5)/2 = 2,5, ⇒x' +5 = 5, ⇒x'= 0
(y' - 4)/2 = 1,5, ⇒ у' -4 = 3, ⇒y' = 7
(z' +1)/2 = 2, ⇒ z' +1 = 4, ⇒ z' = 3
B(0; 7; 3)
|BD| = √((0-5)² +(7+4)² + (3 -1)²)=√(25 + 121 + 4) = √150= 5√6