Векторы a и b не коллинеарны . найти такое число - вопрос №3413305 от Kurtynau 04.12.2022 00:04

Question

Геометрия: Векторы a и b не коллинеарны . найти такое число x(если это возможно) чтобы векторы p и q были коллинеарны . p=2a-b ; q=a+xb. с формулой

Kurtynau · Answer

Нудный подход: вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно 0.
$\vec p=2\vec a-\vec b ;\quad\vec q=\vec a+x\vec b$
$(2\vec a-\vec b)\times(\vec a+x\vec b)=0\\
2\vec a\times \vec a-\vec b \times \vec a+2\vec a\times x\vec b-\vec b\times x\vec b=0\\
-\vec b \times \vec a+2x\vec a\times \vec b=0\\
(2x+1)(\vec a\times \vec b)=0\\
2x+1=0\\
x=-\dfrac12$

А можно так: два вектора коллинеарны, если один равен другому, умноженному на некоторое число. Пусть это число y.
2a - b = y(a + xb)
(2 - y)a - (1 + xy) b = 0
Так как вектора a, b неколлинеарны, то любая их нетривиальная линейная комбинация не равна нулю (иначе: для любых чисел k, m, одновременно не равных нулю, вектор ka + mb не нулевой). Тогда оба коэффициента должны обратиться в ноль:
2 - y = 0
y = 2
и
1 + xy = 0
1 + 2x = 0
x = -1/2