Вариант I
1.В треугольнике ABC <C = 90°, <B = 60°, BD 1
биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD,
2. в прямоугольном треугольнике DCE с б
прямым углом С проведена биссектриса EF, E
причем FC
13 см. Найдите расстояние от д
точки F до прямой DЕ.
2
3. В
прямоугольном треугольнике
вершины угла, равного 60°, проведена Г
г
биссектриса. Расстояние
основания -
биссектрисы до вершины другого острого з
угла равно 14 см. Найдите расстояние от 1
основания биссектрисы до вершины прямого т
угла.
4". В треугольнике ABC <A = 90°, <B = 60°.
На стороне AC отмечена точка D так, что т
<DBC 30°, DA = 4 см. Найдите AC и
расстояние от точки D до стороны ВС.
ОТ
E
-----------
Соединим вершины треугольника с точкой Ѕ
АЅ=ВЅ=СЅ
Если расстояние от точки вне треугольника до его вершин одинаково., то одинаковы проекции наклонных отрезков, соединяющих эту точку с вершинами: значит, вокруг треугольника можно описать окружность, и основание перпендикуляра к плоскости треугольника лежит в центре этой описанной окружности.
По условию расстояние до плоскости треугольника 3 см
АО=R
Треугольник АОЅ- египетский, и АО=4 см( проверьте по т.Пифагора).
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты. ⇒
Высота треугольника АН=4:(2/3)=6 см
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.