Вариант 2 А1. Периметр параллелограмма равен 40 см, а две из его сторон относятся как 3:2. Чему равна наибольшая из его сторон? (1) 5 см O3) 4 см (2) 12 см O4) 8 см А2. Если в параллелограмме ABCD ZA + ZB + 2 = 237°, то чему равен угол В? ( 1) 57° 3) 123° 2) 79° 14) 90° АЗ. В параллелограмме ABCD диагональ BD со сторонами AB и AD образует углы, равные соответственно 52° и 26°. Чему равна величина угла В? 1) 52° 3) 102° ° D4) 78° А4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересе- кает сторону AD в точке М так, что AM = 8 см, MD = 4 см. Чему равен периметр параллелограмма? 2) 26°
Надо разложить векторы p и q по координатным осям.
Пусть вектор p направлен по оси Ох, вектор q под углом 90 градусов.
Получим координаты: p = (10; 0), q = (0; 1)).
Переходим к векторам a и b.
a =3p + 2q = (3*10 + 2*0 ; 3*0 + 2*1) = (30; 2). Модуль |a| = √904.
b = p - q = (10 - 0; 0 - 1) = (10; -1). Модуль |b| = √101.
Большая диагональ d1 = a + b = (30 + 10; 2 - 1) = (40; 1).
Её длина |d1| = √(40² + 1²) = √1601 ≈ 40,0125
Меньшая диагональ d2 = a - b = (30 - 10; 2 + 1) = (20; 3).
Её длина |d2| = √(20² + 3²) = √409 ≈ 20,224.
Находим угол между диагоналями d1 (40; 1) и d2(20; 3).
По скалярному произведение векторов.
cos A = |40*20 + 1*3|/(√1601*√409) = 803/√654809 ≈ 0,99233.
Угол A = 0,1239 радиан или 7,099 градуса.
Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов a и b или через две диагонали и синус угла между ними.
Находим векторное произведение векторов a(30; 2) и b(10; -1).
i j k | i j
30 2 0 | 30 2
10 -1 0 | 10 -1 = 0i + 0j - 30k - 0j - 0i - 20k = -50.
Площадь по модулю равна 50 кв.ед.
По диагоналям:
S = (1/2)d1d2 sin γ = (1/2)*√1601 * √409 * sin 7,099° = (1/2)*100 = 50 кв.ед.
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.
Тогда вектор АО{3,5;0,5}, а вектор ВО{2,5;-2,5}.
Это половины диагоналей и угол между ними находим по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае:
cosα=(3,5*2,5+0,5*2,5)/[√(3,5²+0,5²)*√(2,5²+(-2,5)²)].
cosα=(8,75+1,25)/[√(12,25+0,25)*√(6,25+6,25)]. Или
cosα=10/12,5=0,8. Значит угол α≈36°
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение находим по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
Вектор АВ{1;3}
Вектор ВС{6;-2}
(ABxBC)=6+(-6)=0.
Значит стороны АВ и ВС перпендикулярны.
Следовательно, АВСD - прямоугольник.