Вариант 1 1. На рисунке 161 отрезки AB и
CD имеют общую середину. Докажите,что треугольники AOC и BOD равны.
2. Даны прямая и отрезок. По-
стройте точку, такую, чтобы перпендикуляр, опущенный из этой точки
прямую, равнялся данному отрезку.
3. В треугольнике ABC AB= BC. На
медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC точки Р и К соответственно. (Точки P, M и к не лежат на одной прямой.) Известно, что угл BMP = углуВМК. Докажите, что:
а) углы BPM и BKM равны;
б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.
4*. Дан угол в 54°. Можно ли с циркуля и линейки построить угол в 18°?
​

Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как-то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY;
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.

Строим треуг АВС. Из точки В проводим перпендикуляр ВD. Соединяем AD и CD. Получили пирамиду, BD-перпендикуляр к основанию АВС. Грани ABD и CBD являются прямоугольными треуг-ми. У треуг. ABD и CBD катет DB-общий, катеты АВ=ВС по условию, значит треуг-ки ABD=CBD по двум катетам, тогда AD=CD, следовательно треуг. ADC равнобедренный. Найдем AD^2=АВ^2+DB^2=625+15=640DO-высота, проведенная к основанию АС, ана же и медиана и искомое расстояние от точки D до прямой АС.Так как DO медиана, то АО=48/2=24смDO=√(AD^2-AO^2)=√(640-576)=8смответ 8см