Вариант 1
1. К окружности с центром О и радиусом 5 см проведены две касательные АВ и АС, АО=13 см. Найти АС.
2. В треугольнике АВС проведены серединные перпендикуляры ОЕ, ОF, ОК к сторонам АВ, ВС и АС соответственно. Причем ОF =6см, ВF=8см. Найти ОС.
3. В окружности проведены две хорды АВ и СD , которые пересеклись в точке Е. Причем АЕ =3см, ВЕ = 9 см, а ЕС в 3 раза больше ЕD. Найти Е D.
4. Окружность с центром О и радиусом 16см описана треугольника MNK так, что угол MON равен 120 градусов, угол NOK равен 90 градусов. Найти MN и NK
Sabd = AD·BH/2
Sacd = AD·CK/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК.
Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, а
значит, AD ║ BC.
Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD.
Sacd = CD·AE/2
Sbcd = CD·BT/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT.
Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, а
значит, СD ║ АВ.
AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.