Вариант 1. 1. Даны точки А (3; – 1; 2) и В (5; 1; 1). Найдите:
а) координаты вектора ; б) .
2. Даны векторы {– 2; 3; 1} и {4; – 1; 2}. Найдите:
а) координаты вектора 2 – ;
б) разложить вектор {8; -2; 3} по координатным векторам ?
3. Найдите скалярное произведение векторов и , если:
а) {2; – 4; 1}, {3; 2; – 1}; б) = 3, = 4, cos( = .
4. Найдите значение m, при котором векторы и перпендикулярны, если {2; – 4; m}, {3; – 1; 5}.
5. Найдите cos(( между векторами {2; 3; – 1} и {3; – 1; 2}.
Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°.
Соединяем точку А₁ с точкой D.
В треугольнике АА₁D
AA₁=2 м
AD=1 м
∠A₁AD=60°
По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3
A₁D=√3 м
Треугольник A₁AD- прямоугольный
по теореме обратной теореме Пифагора:
АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )²
A₁D⊥AD
В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны
АС⊥AD
Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD
ВС || AD
BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD
A₁C - высота призмы
A₁C=Н
Из прямоугольного треугольника
A₁DC:
А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2
A₁C=Н=√2 м
S(параллелепипеда)=S(осн)·Н=АВ²·Н=1·√2=√2 куб. м