Варіант 1
1. Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А(1;1;-3), В (-1;3;5), С (0;2;1)?
( )
2. Точки А (3; 1; 8), В (4; 7; 1), С(3; 5; -8) — вершини паралелограма ABCD.
Знайдіть координати вершини D. ( )
3. Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно
площини хz, якщо А (5; - 2; 1), В (5; 3; 6). ( )
4. На осі аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок В(-2;3;5) і С(3;-5;1).
( )

Варіант 2
1. Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А (1;0;0), В (1;2;2) і С (2;2;2)?
( )
2. Точки А (4; 2; -1), C(-4; 2; 1), D(7; -3; 4) — вершини паралелограма ABCD.
Знайдіть координати вершини В. ( )
3. Знайдіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно
площини ху, якщо А (8; -3; 4), В (8; 7; 8). ( )
4. На осі абсцис знайдіть точку А, яка рівновіддалена від точок В (1; 2; 2) і
С (-2; 1; 4). ( )

Варіант З
1. Чи лежать точки А (2; 1; 3), В (1; 1; 4), С(0; 1; 3) на одній прямій? ( )
2. Точки В (1; 1; -3), С (-2; 0; 5), D (-1; 3; 4) — вершини паралелограма ABCD.
Знайдіть координати вершини А. ( )
3. Точка M(2; 6; 3) — середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі х і в
площині уz. Знайдіть координати кінців відрізка. ( )
4. На осі ординат знайти точку С, рівновіддалену від точок А (-2;3;1) і В(1;2;-4).
( )

Варіант 4
1. Чи лежать точки А (2; 1; 3), В (2; 1; 5) , С(0; 1; 1) на одній прямій? ( )
2. Точки А (-4;-8; 8), В (-2; -2; 6), D (2; -6; -8) — вершини паралелограма ABCD.
Знайдіть координати вершини С. ( )
3. Кінці відрізка знаходяться на осі z і в площині ху. Знайдіть координати кінців
відрізка, якщо точка M(2; 8; 5) — середина відрізка. ( )
4. На осі аплікат знайти точку С, рівновіддалену від точок А (1;1;7) і В(3;-4;-4).
( )

∠АМС = 30°

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС:    ВС = АВ

ВМ = АС

∠АВС = 20°

Найти:

∠АМС

Cмотри прикреплённый рисунок

Сделаем дополнительные построения:

1) Cтроим параллелограмм АВТС. По свойству параллелограмма диагональ ВС делит его на два равных треугольника: ΔТСВ = ΔАВС

2) Приняв ВС за ось симметрии, построим ΔСВК  симметричный ΔСВТ.

ΔСВТ = ΔСВК  по построению.

При этом ∠СВК = 0,5 · (180° - 20°) =80°, ∠АВС = 20°, тогда

∠КВМ = 80° - 20° = 60°.

По условию ВМ = АС, а АС = ВТ и ВТ = ВК по построению. Тогда ВМ = ВК и ΔМВК равнобедренный. Поскольку угол при вершине В треугольника МВК равен 60°, то  два угла при основании ВК  равны по 60°, и ΔМВК - равносторонний.

Проекции НВ и НК сторон МВ и МК  в Δ МВК являются и проекциями сторон СВ и СК равнобедренного ΔСВК. то точки Н, М и С лежат на  общем перпендикуляре СН, являющимся высотой, медианой и биссектрисой обоих равнобедренных треугольников: ΔМВК и ΔСВК.

Поскольку МН - биссектриса угла КМВ. то ∠ВМН = ∠КМН = 30°.

∠АМС и ∠ВМН - вертикальные углы. поэтому  ∠АМС = 30°

Объяснение:

А) Дано: ∆ABC - равнобедренный, BH - биссектрисса

Рассмотрим ∆ABH и ∆CBH

1) AB=BC (по условию)

2) <ABH=<CBH (т.к. BF - биссектрисаа)

3) BH - общая сторона

∆АBH=∆ACBH (по двум сторонам и углу между ними) => AH=HC => BG - медиана

<AHC=<BHC - смежные углы = > прямые => <AHC=<BHC=90° => CH - высота

Ч.т.д

Б) Дано: ∆ABC - равнобедренный, BH - медиана

Расмотрим ∆ABH и ∆CBH

1) AC=BC (по условию)

2) AH=CH (по условию, что CH медиана)

3) <BAH=<CBH (углы при основании)

∆ABH = ∆CBH (по двум сторонам и углу между ними)

Из равенства треугольников следует равенство соответсвующих углов.

<ABH=<CBH => CH - биссектриса

<AHB=<CHB - смежные => прямые => <AHB= <CHB = 90° => CH - высота треугольника ABC

Ч.т.д.