1) уравнение стороны АС: это канонический вид уравнения. 12х-9у+72 = 0, сократим на 3: 4х-3у+24 = 0 общий вид этого уравнения. у = (4/3)х+8 уравнение с коэффициентом.
2) уравнение высоты, проведенной из вершины В. Эта высота перпендикулярна АС и имеет коэффициент при х, равный -1/(4/3) = -3/4. Уравнение высоты из точки В имеет вид у = (-3/4)х+в. Для нахождения коэффициента в в полученное уравнение подставим координаты точки В. 1 = (-3/4)*1+в, в = 1+(3/4) = 7/4. Тогда уравнение примет вид у = (-3/4)х+(7/4) или в общем виде 3х+4у-7 = 0.
3) длина высоты из вершины В. Надо найти координаты основания высоты как точку пересечения высоты и стороны АС. 4х-3у+24 = 0|x3 12x-9y+72 = 0 3х+4у-7 = 0|x-4 -12x-16y+28 = 0 ______________ -25y+100 =0 y = 100/25 = 4. x = (3y-24)/4 = (3*4-24)/4 = -12/4 = -3. Точка Д(-3; 4). Длина высоты ВД равна: BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √25 = 5.
4) угол А. Для этого найдём длины сторон: 1) Расчет длин сторон АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √50 = 7,071067812, BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √125 = 11,18033989, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √225 = 15. cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС) = 0,707107 A = 0,785398 радиан = 45 градусов.
Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны. BC = CM = LB = BN и BS = SA = AN = ND = DG, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны. Опустим два перпендикуляра к большему основанию AD. Обозначим их за BE т FC. Внутри трапеции образовался прямоугольник BEFC => BC = EF = 2m. Тогда AE + FD = 2n - 2m. AB = CD BE = CF Угол AEB = углу DFC = 90° Значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе. Из равенства треугольников => AE = FD. Значит, AE = FD = 1/2(AE + FD) = 1/2•(2n - 2m) = n - m. По теореме Пифагора: BE = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn. Значит, высота трапеции равна 2√mn. Площадь S трапеции равна: S = 1/2(BC + AD)•EB S = (m + n)•2√mn.
1) уравнение стороны АС:
12х-9у+72 = 0, сократим на 3: 4х-3у+24 = 0 общий вид этого уравнения.
у = (4/3)х+8 уравнение с коэффициентом.
2) уравнение высоты, проведенной из вершины В.
Эта высота перпендикулярна АС и имеет коэффициент при х, равный -1/(4/3) = -3/4.
Уравнение высоты из точки В имеет вид у = (-3/4)х+в.
Для нахождения коэффициента в в полученное уравнение подставим координаты точки В.
1 = (-3/4)*1+в,
в = 1+(3/4) = 7/4.
Тогда уравнение примет вид у = (-3/4)х+(7/4) или в общем виде
3х+4у-7 = 0.
3) длина высоты из вершины В.
Надо найти координаты основания высоты как точку пересечения высоты и стороны АС.
4х-3у+24 = 0|x3 12x-9y+72 = 0
3х+4у-7 = 0|x-4 -12x-16y+28 = 0
______________
-25y+100 =0 y = 100/25 = 4.
x = (3y-24)/4 = (3*4-24)/4 = -12/4 = -3.
Точка Д(-3; 4). Длина высоты ВД равна:
BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √25 = 5.
4) угол А. Для этого найдём длины сторон:
1) Расчет длин сторон
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √50 = 7,071067812,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √125 = 11,18033989,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √225 = 15.
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС) = 0,707107
A = 0,785398 радиан = 45 градусов.
BC = CM = LB = BN и BS = SA = AN = ND = DG, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны.
Опустим два перпендикуляра к большему основанию AD. Обозначим их за BE т FC. Внутри трапеции образовался прямоугольник BEFC => BC = EF = 2m. Тогда AE + FD = 2n - 2m.
AB = CD
BE = CF
Угол AEB = углу DFC = 90°
Значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе.
Из равенства треугольников => AE = FD. Значит, AE = FD = 1/2(AE + FD) = 1/2•(2n - 2m) = n - m.
По теореме Пифагора:
BE = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn.
Значит, высота трапеции равна 2√mn.
Площадь S трапеции равна:
S = 1/2(BC + AD)•EB
S = (m + n)•2√mn.