В1. . Дано: ABCD-прямоугольник;
KE перпендикулярно АС;
AE=EC;
ВК меньше КС в 2 раза.
Найдите: углы, на которые диагональ
делит угол прямоугольника.

Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN. 

MN = 3√2. 

В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5;

PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2);

Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;

Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2;

Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2;

Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6;

Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2;

Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);

Если не понятно, почему  r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.

В треугольнике АВС найдем угол А. Угол А равен 90 - 60 = 30 град.

По свойству прямоугольного треугольника с углом 30 градусов катет, противолежащий этому углу в 2 раза меньше гипотенузы, т.е.ВС в 2 раза меньше АВ.

пусть ВС=х см, тогда АВ = 2х см. по теореме Пифагора составим уравнение:

24^2 + x^2 = (2x)^2 (24 в квадрате)

3x^2=576

x^2=192

x= корень из 192 = 8 корней из 3

Вс= 8 корней из 3

Тогда Ав = 2*8 корней из3 = 16 корней из3.

Значит ВД = 16 корней из 3

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АСД. В нем АС=24 см, СД=24корня из 3. По теореме пифагора найдем гипотенуза АД:

АД^2=24^2+(24 корня из 3)^2= 576+576*3=576(1+3) = 576*4

Тогда АД=корень из (576*4)=24 *2=48(см0

ответ:48см