В яку фігуру переходить під час переміщення відрізок довжиною 3 см?
А) У відрізок довжиною 6 см
Б) У відрізок довжиною 9 см
В) У відрізок довжиною 3 см
Г) У відрізок довжиною 1 см

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем свойство 1.

Дано: ΔАВС, АВ = ВС.
Доказать: ∠А = ∠С.

Доказательство:

Проведем медиану ВН.
АВ = ВС по условию,
АН = НС, так как ВН медиана,
ВН - общая сторона для треугольников АВН и СВН, ⇒
ΔАВН = ΔСВН по трем сторонам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.
Значит, ∠А = ∠С.

Можно и без Менелая. Если воспользоваться следующим очевидным фактом. Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит эту сторону на части, которые относятся как а:b, то площади получившихся двух треугольников тоже относятся как a:b (это потому что у этих треугольников общая высота).  Пользуясь этим, получим:
1) Т.к. AP - биссектриса, то BP/PC=7/9 и значит S(KPB)=7x, S(KPC)=9x.
2) Т.к. BM - медиана, то S(AKM)=S(KMC)=y и S(ABK)=S(KBC)=9x+7x=16x.
3) Опять по свойству биссектрисы S(ABP)/S(APC)=7/9=(16x+7x)/(2y+9x). Отсюда y=72x/7.
4) S(ABC)=32x+2y=368x/7 и S(KPCM)=9x+y=135x/7
Значит S(KPCM)/S(ABC)=135/368.