Намалюємо трапецію АВСД: АВ=СД, кут А - 45 градусів, оскільки трапеція рівнобічна, то кут А= кут Д = 45 градусів. Інші визначаємо так : 360-(45+45)=270:2=135- це кути В і С. З кута С пускаємо висоту до сторони АД і утворюємо трикутник СМД: кут М- 90 градусів, кут С: 135-90=45 градусів, кут Д за умовою дорівнює 45 градусів. Отже трикутник рівнобедрений, оскільки МД=СМ=10 сантиметрів. А якщо врахувати, що трапеція рівнобічна то якщо з другої сторони пустити висоту то вийде теж 10 см. А щоб дізнатись ВС потрібно 70-(10+10)=50 см.
Длина отрезка (модуль) |АВ|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²] или |АВ|=√(16+4] = 2√5. Длина отрезка (модуль) |СD|=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²] или |CD|=√[(Xd-4)²+(Yd+2)²]. Условие: |АВ|=|CD|. Тогда √[(Xd-4)²+(Yd+2)²]=2√5. Возведем обе части в квадрат: (Xd-4)²+(Yd+2)²=20 (1) -это уравнение окружности с центром в точке С(4;-2) радиусом R=2√5. Точка D лежит на этой окружности. Но для того, чтобы выполнялось условие равенства векторов АВ=CD и АВ=DC, необходима их коллинеарность (параллельность), сонаправленность и равенство по модулю. Проведем через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Для этого: Уравнение прямой АВ: (х-1)/(-4)=(y-2)/(-2), ее направляющий вектор р(-4;-2). Тогда уравнение прямой CD, проходящей через точку С(4;-2), параллельной прямой АВ : (х-4)/(-4)=(y+2)/(-2) или x-2y-8=0 или y=(x-8)/2 (2). Решим систему уравнений (1) и (2): x²-8x+16+y²+4y+4=20 или, подставив значение y из (2), 4x²-32x+х²-16х+64+8х-64=0 или 5х²-40х=0. Отсюда х1=0,y1=-4 и x2=8 y=0. Итак, координаты точки D1(0;-4) и D2(8;0).
Вектор АВ={-4;-2}, вектор СD1{-4;-2}, модуль |CD1|=2√5; вектор D2C{-4;-2}, модуль |D2C|=2√5. Вектора АВ и CD1 коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю. Вектора АВ и D2С коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю. Условие выполнено. ответ: точка D1(0;-4), точка D2(8;0).
Длина отрезка (модуль) |СD|=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²] или
|CD|=√[(Xd-4)²+(Yd+2)²]. Условие: |АВ|=|CD|. Тогда
√[(Xd-4)²+(Yd+2)²]=2√5.
Возведем обе части в квадрат:
(Xd-4)²+(Yd+2)²=20 (1) -это уравнение окружности с центром в точке С(4;-2) радиусом R=2√5.
Точка D лежит на этой окружности.
Но для того, чтобы выполнялось условие равенства векторов АВ=CD и АВ=DC, необходима их коллинеарность (параллельность), сонаправленность и равенство по модулю.
Проведем через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Для этого:
Уравнение прямой АВ:
(х-1)/(-4)=(y-2)/(-2), ее направляющий вектор р(-4;-2).
Тогда уравнение прямой CD, проходящей через точку С(4;-2), параллельной прямой АВ :
(х-4)/(-4)=(y+2)/(-2) или x-2y-8=0 или y=(x-8)/2 (2).
Решим систему уравнений (1) и (2):
x²-8x+16+y²+4y+4=20 или, подставив значение y из (2),
4x²-32x+х²-16х+64+8х-64=0 или
5х²-40х=0. Отсюда х1=0,y1=-4 и x2=8 y=0.
Итак, координаты точки D1(0;-4) и D2(8;0).
Вектор АВ={-4;-2}, вектор СD1{-4;-2}, модуль |CD1|=2√5;
вектор D2C{-4;-2}, модуль |D2C|=2√5.
Вектора АВ и CD1 коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю.
Вектора АВ и D2С коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю.
Условие выполнено.
ответ: точка D1(0;-4), точка D2(8;0).