В треугольнике ABC известно, что угол A=45, угол C=30, AC= 6 см. Окружность с центром в точке А касается прямой BC. Чему равна длина дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику ABC?
В условии задачи не уточнено, какое произведение векторов необходимо найти.
1) Скалярное произведение векторов:
FA·AC = |FA|·|AC|·Cos(FA^AC).
Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором". В нашем случае угол между векторами FA и АС тупой. Косинус тупого угла отрицателен.
Cos(AFC1)= -Cos(<(180-<CAF)= -AO/AF= -(2√2/2)/2= -√2/2. (АО - половина диагонали АС квадрата со стороной 2 см, АC = 2√2, AO =√2,<FAC = 135°).
Тогда FA·AC = 2·2·(-√2/2) = -2√2.
2. Векторное произведение векторов (определение: "Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними":
|FA*AC| = |FA|*|АC1|*Sin(FA^АC1) = 2·2√2·√2/2 = 4 см. (Угол между векторами равен 135°, AC = 2√2).
Или так: высота пирамиды FO = √(AF²-AO²) = √(4 - 2) =√2. (По Пифагору). S = AC·FO = 2√2·√2 = 4 см². => |FC1|=4см.
1) Формула объёма конуса V=S•H:3=πr²H:3
Формула объёма шара
V=4πR³:3
Осевое сечение данного конуса - равносторонний треугольник, т.к. его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°.
Выразим радиус r конуса через радиус R шара.
r=2R:tg60°=2R/√3
V(кон)=π(2R/√3)²•2R²3=π8R³/9
V(шара)=4πR³/3
V(кон):V(шар)=[π8R³/9]:[4πR³/3]=(π•8R³•3/9)•4πR³=2/3
———————
2) Формула объёма цилиндра
V=πr²•H
Формула площади осевого сечения цилиндра
S=2r•H
Разделим одну формулу на другую:
(πr²•H):(2r•H)=πr/2⇒
96π:48=πr/2⇒
4π=πr
r=4
Из площади осевого сечения цилиндра:
Н=S:2r=48:8=6
На схематическом рисунке сферы с вписанным цилиндром
АВ- высота цилиндра, ВС - его диаметр,
АС - диаметр сферы.
АС=√(6²+8²)=√100=10
R=10:2=5
S(сф)=4πR8=4π•25=100π см²
Скалярное произведение: FA·AC = -2√2.
Векторное произведение: |FA*AC| = 4 cм.
Объяснение:
В условии задачи не уточнено, какое произведение векторов необходимо найти.
1) Скалярное произведение векторов:
FA·AC = |FA|·|AC|·Cos(FA^AC).
Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором". В нашем случае угол между векторами FA и АС тупой. Косинус тупого угла отрицателен.
Cos(AFC1)= -Cos(<(180-<CAF)= -AO/AF= -(2√2/2)/2= -√2/2. (АО - половина диагонали АС квадрата со стороной 2 см, АC = 2√2, AO =√2,<FAC = 135°).
Тогда FA·AC = 2·2·(-√2/2) = -2√2.
2. Векторное произведение векторов (определение: "Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними":
|FA*AC| = |FA|*|АC1|*Sin(FA^АC1) = 2·2√2·√2/2 = 4 см. (Угол между векторами равен 135°, AC = 2√2).
Или так: высота пирамиды FO = √(AF²-AO²) = √(4 - 2) =√2. (По Пифагору). S = AC·FO = 2√2·√2 = 4 см². => |FC1|=4см.