В треугольнике ABC дано: ∠A = 90°, AB=8, AC=6, MF=7 , MA⊥ AB, MA⊥ AC, AF - медиана. Найти: MA и (АВС), МА и АF, AF⊥BC - ? , BC, MA

task/26613119

A(3; 6; -2)  ,   B(-4; 1; -1)  , C(2; -5; 5)
а)найдите координату вершины d параллелограмма abcd
б)на оси ординат найдите точку,равноудаленную от точек B и C.

а)
Диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения  делятся пополам. Пусть O  точка пересечения этих  диагоналей .
x(O) =( x(A) +x(C) ) /2 =( x(B) +x(D) ) /2 ⇒ x(D) = x(A) +x(C) - x(B) =3+2 -(-4) =9.
аналогично  y(D) = y(A) +y(C) - y(B) = 6 +(-5) -1 = 0  
z(D) = z(A) +z(C) - z(B) = -2 +5  -( -1) = 4.

ответ :  D( 9 ; 0 ; 4) . 

б)   Допустим эта точка M (0 ; y ; 0)   ,  MB = MC.

MB = MC. ⇒  MB² = MC²  
(0 - ( -4))²  +(y -1)² +(0- (-1))² = (0 -2)²  +(y -(-5) )² +(0- 5)²  ;
16 +(y -1)² + 1  = 4 +(y+5)² +25  ;
(y -1)² - 12 = (y+5)²  ;
y²  -2y +1 -12 = y² +10y +25 ;
12y = -36 ;
 y = - 3 .

ответ :  M (0 ; - 3 ; 0) . 

 

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикулярного отрезка из точки к этой прямой. Опустим перпендикуляры из точки пересечения диагоналей на смежные стороны прямоугольника. Эти перпендикуляры являются средними линиями* в треугольнике, образованном смежными сторонами прямоугольника и диагональю и равны половинам сторон прямоугольника. Один из перпендикуляров больше другого на 3 см, следовательно одна сторона прямоугольника больше другой на 3*2=6 (см). Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме сторон (так как противоположные стороны параллелограмма равны). Сумма сторон данного прямоугольника 20/2=10 (см), одна сторона 2, другая 8.

x, y - стороны прямоугольника.
y/2= x/2 +3 <=> y=x+6
2(x+y)=20 <=> x+y=10
2y=16 <=> y=8
x=8-6=2

-------------------------------------------
*)  т.к. соединяют середину одной стороны с точкой на другой стороне и параллельны третьей стороне; диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам; смежные стороны прямоугольника перпендикулярны.