В треугольниках ABD и BDC ∠ABD=∠BDC, ∠CBD=∠BDA,AD=6,7 см, CD=5,4 см. По данным рисунка заполните таблицу (ответы запишите в виде десятичной дроби без указания единиц измерения). AB-
BC-
Периметр четырехугольника ABCD-

Если провести через точку L прямую MN II BC (М лежит на АВ, N лежит на DC), то прямоугольные треугольники KLM и LND равны. Не подобны, а именно равны, LM = DN = 3a/4; KM = LN = a/4; a - сторона квадрата. Поэтому угол MLK = угол LDN. Две стороны этих углов ML и DN взаимно перпендикулярны, значит, и KL перпендикулряно LD.

(есть куча эквивалентных завершения доказательства, если непонятно, то можно например провести PQ II СD через L, тогда угол DLQ = угол MLK, то есть угол KLD получается из прямого угла MLQ поворотом на угол MLK.) 

А вот векторное решение, для разнообразия (жирным обозначены векторы).

если ввести 2 перпендикулярных вектора a = АВ; b = BC;

скалярное произведение ab = ba = 0

то 

AC = a + b; AL = 3(a + b)/4;

LK = a/2 - 3(a + b)/4 = - (a + 3b)/4;

LD = b - 3(a + b)/4 = (b - 3a)/4;

Легко видеть, что 

скалярное произведение (LK LD) = (-1/4)(ab + 3a^2 - 3b^2 - 9ba) = 0;

(поскольку a^2 = b^2;)

то есть эти векторы перпендикулярны, чтд.

Рассмотрим ∆ ABC и АСД. В них:

PM и MQ средняя линия соответственно.

Средняя линия в треугольнике равна половине стороны, против которой лежит, следовательно:

PM = 1/2 BC -> 2PM = BC

MQ = 1/2 AD -> 2MQ = AD

По условию крайние отрезки средней линии относятся со средней частью как 3:1, поэтому мы можем взять отрезки за х:

MN - x, PM = NQ = 3x.

MQ = MN + NQ = 3x + x = 4x

Из этого исходит, что:

2PM = BC => 3x = BC

2MQ = AD => 4x = AD

У нас известны соотношения сторон, поэтому:

BC:AD = 3x : 4x

BC:AD = 3:4

ответ: 3:4

Я сама искала ответ на эту задачу в интернете, но так и не нашла. Надеюсь, что Желаю удачи в сдаче ВПР. vendermask.