В трапеции ABCD с основаниями AD и BC известно, что AC=4, BD=3, ∠BDA = 2∠CAD.
а) Докажите, что угол BDA тупой.
б) Найдите площадь трапеции ABCD

54 см ² и 30 см²

Объяснение:

Логика решения. Чтобы найти площади треугольников MNK и  KPN нужно знать высоту из вершины N. Она для этих треугольников будет общая.

Чтобы найти высоту, зная основание MP, нужно знать площадь треугольника MNP.

Площадь можно вычислить по формуле 1/2 * MN*NP*SinN

SinN можно вычислить через основное тригономтерическое тождество, если будет известен CosN

CosN можно посчитать по теореме косинусов.

Расчеты:

1. 14² = 13² + 15² - 2*13*15*CosN

CosN = 198/390 = 33/65

2. SinN = √(1 - (33/65)²) = 56/65

3. S = 1/2 * 13 * 15 * 56/65 = 84

4. S = 1/2 * h * (9+5).

h = 84*2/14 = 12

5. S Δ MNK = 1/2 * 12 * 9 = 54

S Δ KNP = 1/2 * 12 * 5 = 30

144√3 ед²

Объяснение:

Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, ∠Т=60°,  КР⊥РТ;  КТ=16√3 . Найти S(КМРТ).

Рассмотрим ΔКРТ - прямоугольный;  ∠РКТ=90-60=30°, значит, РТ=0,5КТ=8√3  по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

Проведем высоту РН и рассмотрим ΔРТН - прямоугольный;

∠ТРН=90-60=30°, значит, ТН=0,5РТ=4√3 .

Найдем РН по теореме Пифагора:

РН²=РТ²-ТН²=192-148=144;  РН=12.

Найдем МР.  ∠МРК=∠РКН=30° как внутренние накрест лежащие при МР║КТ и секущей КР;  ∠МКР=60-30=30°, значит, ΔКМР - равнобедренный, МР=КМ=8√3 .

S(КМРТ)=(МР+КТ)/2 * РН = (8√3+16√3)/2 * 12=(12√3)*12=144√3 ед²