Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
1) Рассмотрим ΔАСН - прямоугольный по свойству высоты, ∠СНА=90°.
АН=16 см, АС=20 см, тогда СН=12 см (по определению египетского треугольника)
Найдем НВ по формуле СН²=АН*НВ; 144=16НВ; НВ=9 см.
АВ=АН+НВ=16+9=25 см., АС=20 см, тогда ВС=15 см (по определению египетского треугольника)
S(ABC)=1\2 * АВ * СН = 1\2 * 25 * 12 = 150 см²
ответ: 25 см, 15 см, 150 см²
2) ВС²=АВ·ВН. Пусть АВ=х, тогда ВН=х-16
х(х-16)=225; х^2-16х-225=0. х=25, АВ=25 см. ; ВН=25-16=9 см
найдем СН из формулы СН²=АН*ВН; СН²= 16*9=144; СН=12 см
Если АВ=25 см, а ВС=15 см, то АС=20 см (по определению египетского треугольника)
S(ABC)=1\2 * АВ * СН = 1\2 * 25 * 12 = 150 см²
ответ: 25 см, 20 см, 150 см²