В равносторонний треугольник случайным образом «бросили» точку. Найдите вероятность того, что она попала во внутреннюю область круга, вписанного в данный треугольник.

Ребята

Начертите чертёж и посмотрите внимательно.
Рассмотрим одну из вершин трапеции и отрезки сторон, соединяющие эту вершину с точками, в которых окружность касается сторон.
Эти отрезки равны между собой как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Такое рассуждение можно провести для всех 4-х вершин.
Таким образом, наша трапеция "собрана" из отрезков 4-х видов (длин) , каждый повторяется по 2 раза. Назовём эти длины А, В, С и D.
Периметр трапеции - это 2(А+В+С+D)=12.
Далее, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Основания также складываются из наших 4-х отрезков. Сумма оснований будет (А+В+С+D)=12/2=6.
Полусумма - (А+В+С+D)/2=6/2=3.

Чтобы рисунок соответствовал условию задачи, воспользуемся для его построения окружностями с центром в точке А и радиусом АВ,
 и с центром в точке D и радиусом СD. 
Обозначим середину ВС буквой М. 
Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М. 
По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD 
Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒ 
АЕ- ещё и высота,  и медиана. 
Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒  
угол ВЕА=∠АЕК=90º. 
Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒ 
угол СНD=∠КНD=90º. 
В треугольнике КВС  отрезки ВМ=МС по условию 
КН=НС, т.к. DН - медиана,
 ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒
МН - средняя линия. и  ЕМ- средняя линия 
ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒
МН||ВК  и 
ЕМ||КН 
∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому 
∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при  прямых MH||ВК и секущей МЕ. 
Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. . 
Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒
НМ - продолжение DН. ⇒
 Биссектриса DМ угла  D  проходит через середину  стороны ВС, ч.т.д.