В равностороннем треугольнике ABC: BD- медиана AC- 10 . найдите скалярное произведение AB и Умоляю

Показать ответ

Ответ:

Gjjsg

01.02.2020 22:22

Обозначим длину стороны AB за x (x ≥ 0). Вспомним формулу нахождения описанной около треугольника окружности через произведение сторон и площадь
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{\Delta ABC}}$

$\frac8{\sqrt{15}} = \frac{3 \cdot 4 \cdot x}{4S}$
$\frac8{\sqrt{15}} = \frac{3 \cdot x}{S}$
$8S=3x\sqrt{15}$

Найдем площадь треугольника по формуле Герона
$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$ , где $p=\frac{AB+AC+BC}2$

$p=\frac{3+4+x}2=\frac{7+x}2$

$S=\sqrt{\frac{7+x}2(\frac{7+x}2-3)(\frac{7+x}2-4)(\frac{7+x}2-x)}=$
$=\sqrt{\frac{7+x}2\cdot\frac{1+x}2\cdot\frac{x-1}2\cdot\frac{7-x}2}=\sqrt{(\frac72+\frac x2)(\frac72-\frac x2)(\frac x2+\frac12)(\frac x2-\frac12)}=$
$\sqrt{(\frac{49}4-\frac{x^2}4)(\frac{x^2}4-\frac14)}=\frac14\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}$

Подставим получившееся значение в первое уравнение
$8\cdot\frac14\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3x\sqrt{15}$
$2\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3x\sqrt{15}$
$(2\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)})^2=(3x\sqrt{15})^2$
$4(49-x^2)(x^2-1)=9x\cdot15$
196x^2-196-4x^4+4x^2=135x

Замена $x^2=t,\ t \geq 0$

4t^2-65t+196=0

$D=65^2-4\cdot4\cdot196=4225-3136=1089=33^2$
$t_1=\frac{65+33}{2\cdot4}=12,25$
$t_2=\frac{65-33}{2\cdot4}=4$

Вернемся к замене
$1)\ x^2=12,25$
$x=\pm3,5$
$2)\ x^2=4$
$x=\pm2$
$x \geq 0 \Rightarrow x \in \{3,5;\ 2\}$

Найдем больший угол треугольника по теореме косинусов
1) Стороны: 3; 4; 3,5
$A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B$
$4^2 = 3,5^2 + 3^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot 3 \cdot \cos \angle B
$
$16 = 12,25 + 9 - 21\cos \angle B
$
$21\cos \angle B=5,25
$
$\cos \angle B=0,25$
Значит ∠B < 90° ⇒ ΔABC - остроугольный.

2) Стороны: 3; 4; 2
$A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B$
$4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \angle B$
$16 = 4 + 9 - 12\cos \angle B$
$12\cos \angle B =-3
$
$\cos \angle B =-0,25
$
Значит ∠B > 90° ⇒ ΔABC - тупоугольный.

По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9

ответ: 9

0,0(0 оценок)

Ответ:

dkim7985

27.05.2022 03:28

Выясним, о каком многоугольнике речь.
Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали во все вершины , кроме 2-х смежных и самой себя, т.е. n-3 диагонали.
Однако, любая диагональ из А в С есть одновременно и диагональ из С в А. Поэтому, у выпуклого n-угольника число диагоналей d=n·(n-3)/2.
В то же время, по условиям задачи, у нашего многоугольника d=3n.
Решаем уравнение: 3n=n·(n-3)/2; 6n=n²-3n; 9n=n²; n=9
Таким образом, речь идет о 9-угольнике.
Поскольку правильный n-угольник можно представить, как n смыкающихся треугольников с общей вершиной, сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна n·180°-360°.
В данном случае, для 9-угольника: 9·180°-360°=1260°

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия