Сначала скачай 2 картинки, которые я прикрепил, чтобы по ним было понятно.
Доказательство: Пусть медианы MB и РА треугольника MNP пересекаются в точке О.
Найдем середины С и D отрезков ОР и ОМ и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны АВ и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и МОР с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = ОВ. Учитывая, что D — середина отрезка ОМ, получаем MD = OD = ОВ. Значит, МО:ОВ = 2:1. Также РО:ОА = 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку О. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке О1. Тогда по доказанному М01: О1В = 2:1. Учитывая, что и МО:ОВ=2:1, заключаем, что точки 01 и О делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка 01 совпадает с точкой О. Значит, медиана NE проходит через точку О пересечения медиан MB и РА.
Пусть эта точка Р. Расстояния от этой точки до других сторон - это перпендикуляры из этой точки на стороны, то есть отрезки РМ и РN - параллельные высотам. Тогда в подобных треугольниках АВК (ВК- высота) и АРМ АВ/АР=ВК/РМ=5/3; Отсюда АР = 3АВ/5; Запомним это. На стороне АВ отрезок РВ = АВ-АР = АВ-3АВ/5 = 2АВ/5; Запомним и это.
В подобных треугольниках АВТ (АТ-высота на сторону ВС = 5, т.к. высоты равны) и РВN РN/АТ=РВ/АВ отсюда РN = РВ*АТ/АВ = РВ*(5/АВ) или РN = (2АВ/5)*(5/АВ) = 2.
Итак, расстояние от точки Р до третьей стороны треугольника равно 2.
Доказательство: Пусть медианы MB и РА треугольника MNP пересекаются в точке О.
Найдем середины С и D отрезков ОР и ОМ и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны АВ и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и МОР с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = ОВ. Учитывая, что D — середина отрезка ОМ, получаем MD = OD = ОВ. Значит, МО:ОВ = 2:1. Также РО:ОА = 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку О. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке О1. Тогда по доказанному М01: О1В = 2:1. Учитывая, что и МО:ОВ=2:1, заключаем, что точки 01 и О делят отрезок MB в одном и том же отношении.
А это значит, что точка 01 совпадает с точкой О.
Значит, медиана NE проходит через точку О пересечения медиан MB и РА.
Пусть эта точка Р. Расстояния от этой точки до других сторон - это перпендикуляры из этой точки на стороны, то есть отрезки РМ и РN - параллельные высотам. Тогда в подобных треугольниках АВК (ВК- высота) и АРМ АВ/АР=ВК/РМ=5/3; Отсюда АР = 3АВ/5; Запомним это. На стороне АВ отрезок РВ = АВ-АР = АВ-3АВ/5 = 2АВ/5; Запомним и это.
В подобных треугольниках АВТ (АТ-высота на сторону ВС = 5, т.к. высоты равны) и РВN РN/АТ=РВ/АВ отсюда РN = РВ*АТ/АВ = РВ*(5/АВ) или РN = (2АВ/5)*(5/АВ) = 2.
Итак, расстояние от точки Р до третьей стороны треугольника равно 2.