В равнобедренном треугольникеь MPK с основанием mp провели биссектрису MB. Оказалось, что треугольник MPB-равносторонний, причём MB=BP. Найдите угол K треугольника MPK.

А). Построение понятно из рисунка.
б). АС=8√2, ОТ=4√2, ВН=(3/4)*BD=6√2. МР=√(144-32)=√112=4√7.
ВМ/ВК=ВD/BH=4/3. Значит КН параллельна МD и равна (3/4)*MD=9.
Если прямая параллельна прямой лежащей в плоскости,
то она параллельна и самой плоскости.
Что и требовалось доказать.
в). Треугольник ВКН равнобедренный. FH=(1/2)*BH=3√2.
Найдем ЕР. Т.к. КН||МD (доказано), из подобия треугольников КВН и МВD
находим КН=9.  Но РН=НD, и тогда ЕН - средняя линия ∆ РМD,
Е - середина МР, и ЕР=МР/2=2√7. Попутно ЕН=0,5*MD=6, КЕ=9-6=3.
Тр-ки АMP и AQJ подобны (так как QJ параллельна МР), с коэффициентом QJ/MP или k=(2√7)/(4√7)=1/2.
Найдем AQ=(1/2)*AM=6, и из подобия AMC и QMN найдем QN=(1/2)*АС=4√2.
Тогда площадь сечения OQKNT равна сумме площадей треугольника
QKN и параллелограмма (так как QN=ОТ и QN||ОТ) OQNT.
Sqkn=(1/2)*QN*KE или Sqkn=(1/2)*4√2*3=6√2.
Soqnt=OT*EH или Soqnt=4√2*6=24√2.
Sqoknt=Sqkn+Soqnt или Sqoknt=6√2+24√2=30√2.
ответ:Sqoknt=30√2.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов.

Поместим куб в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром ВА по оси ОХ, ребром ВС по оси ОУ.
Находим координаты концов векторов.
Д(2;2;0),
А1(2;0;2),
В(0;0;0),
В1(0;0;2).

Определяем координаты векторов:
ДА1: (2-2=0; 0-2=-2; 2-0=2) = (0;-2;2).
ВВ1:  (0-0=0; 0-0=0; 2-0=2) = (0;0;2).

Скалярное произведение векторов  DA1 и BB1 равно:
 DA1 х BB1 = 0*0 + 0*(-2) + 2*2 = 4.