В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 120°, точки М и Н – середины сторон АВ и ВС соответственно, АВ = 4.
1) Найдите площадь треугольника АВС.
2) Найдите расстояние между серединами отрезков AВ и ВС.
3) Докажите, что треугольники АВС и МВН подобны, и найдите отношение их площадей.
4) Выясните, можно ли провести окружность через точки А, М, Н, С.
5) Найдите синус угла НМЕ, если точка Е – основание перпендикуляра НЕ, проведенного к прямой АС.

1. По координатам (у тебя записаны сначала Х, потом У) нужно найти три точки в системе координат и соединить их, мысленно выделить два отрезка BA и BC (векторы без направления получились) и угол между ними.
2. Вспомни теорему Пифагора и опускай перпендикуляры вниз от каждого вектора-отрезка, чтобы потом по этой теореме можно было посчитать их численное значение. Т.е. просто дострой до прямоугольного треугольника каждый вектор другими отрезками (я их карандашом выделил). И посчитай значение каждого вс карандашом) отрезка по клеточкам...
3. Теперь надо по теореме Пифагора считать численное значение каждого основного из трёх векторов-отрезков (которые ручкой), которые будут являться гипотенузами в соответствующих треугольниках.
4. В основном большом треугольнике (ручкой) известны все стороны (основные векторы-отрезки) - по теореме косинусов, используя все стороны этого треугольника, можно найти один из его углов. Пусть это будет угол искомый - между BA и BC.

Посчитав, получил примерно 37,94°. Очень большие числа были, раза 4 проверил всё. И даже транспортиром вручную измерил в конце угол: около 38°. Так что точно правильно.
Если что-то неясно-непонятно, пиши, я всегда на связи.

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота в правильном треугольнике АВС. То есть
АН⊥ВС.
СС₁⊥(АВС), значит АН⊥СС₁.
АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (ВСС₁), значит АН⊥(ВСС₁).

Проведем КТ║АН.
Тогда КТ⊥(ВСС₁).

Плоскость (С₁КТ) проходит через прямую КТ, перпендикулярную (ВСС₁), значит (С₁КТ)⊥(ВСС₁).
С₁КТ - искомое сечение.

С₁Т - проекция С₁К на плоскость (ВСС₁), значит ∠КС₁Т - угол между прямой С₁К и плоскостью (ВСС₁).
∠КС₁Т - искомый. Обозначим его α.

ΔАВС: АН = АВ√3/2 = 4√3/2 = 2√3 как высота равностороннего треугольника.
КТ = АН/2 = √3 как средняя линия ΔАСН.

ΔСС₁К: по теореме Пифагора
               С₁К = √(СС₁² + КС²) = √(6 + 4) = √10

ΔС₁КТ: КТ - перпендикуляр к плоскости (ВСС₁), прямая С₁Т лежит в этой плоскости, значит КТ⊥С₁Т. Треугольник прямоугольный.

sinα = KT/C₁K = √3/√10
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 3/10) = √(7/10) = √70/10