В равнобедренном треугольнике АВС основание АС =5см, боковая сторона АВ = 10 см. Биссектриса AD угла А при основании треугольника делит сторону ВС на отрезки ВD и DС. Найдите длины этих отрезков.
Если все двугранные углы при ребрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, то есть в центр квадрата (основания). Итак, пирамида правильная. Тогда из прямоугольного треугольника (высота и половина основания - катеты, а апофема - гипотенуза) по Пифагору находим эту апофему. Она равна √(9+16) = 5 (эту величину можно найти без вычислений, так как треугольник пифагоров: стороны его 3,4 и 5) Тогда одной площадь грани равна половина стороны основания, умноженная на апофему: 5*4=20см. А площадь боковой поверхности пирамиды (это 4 равных грани) равна 20*4 =80см².
Пусть сторона BC=x. Как известно, расстояние от вершины B треугольника ABC до точки D касания стороны BC с вписанной окружностью равно p-n=(10+x-n)/2. Как известно, расстояние от вершины C до точки E касания стороны BC с вневписанной окружностью также равно p-n. Возможны два случая.
1 случай. Точка D лежит между B и E. Тогда должно выполняться BD=DE=EC, откуда 3(p-n)=x; x=3n-30 (в частности, отсюда следует, что n>10). Выпишем еще три неравенства треугольника:
10+n>x; 10+x>n; n+x>10. Два последних дают x>|n-10|, а поскольку по доказанному n>10, имеем |n-10|=n-10, то есть x>n-10.
Подставим в неравенства 10+n>x и x>n-10 значение x=3n-30:
10+n>3n-30 и 3n-30>n-10; то есть
2n<40 и 2n>20; то есть 10<n<20, то есть n=11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
2 случай. Точка D лежит между E и C. Тогда BD/2=x/3; откуда x=30-3n, то есть n<10. Из неравенств треугольника в этом случае мы получаем
10+n>x и x>10-n. Подставляем в эти неравенства значение x=30-3n:
10+n>30-3n и 30-3n>10-n; 4n>20 и 2n<20; 5<n<10, то есть n=6, 7, 8, 9.
Пусть сторона BC=x. Как известно, расстояние от вершины B треугольника ABC до точки D касания стороны BC с вписанной окружностью равно p-n=(10+x-n)/2. Как известно, расстояние от вершины C до точки E касания стороны BC с вневписанной окружностью также равно p-n. Возможны два случая.
1 случай. Точка D лежит между B и E. Тогда должно выполняться BD=DE=EC, откуда 3(p-n)=x; x=3n-30 (в частности, отсюда следует, что n>10). Выпишем еще три неравенства треугольника:
10+n>x; 10+x>n; n+x>10. Два последних дают x>|n-10|, а поскольку по доказанному n>10, имеем |n-10|=n-10, то есть x>n-10.
Подставим в неравенства 10+n>x и x>n-10 значение x=3n-30:
10+n>3n-30 и 3n-30>n-10; то есть
2n<40 и 2n>20; то есть 10<n<20, то есть n=11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
2 случай. Точка D лежит между E и C. Тогда BD/2=x/3; откуда x=30-3n, то есть n<10. Из неравенств треугольника в этом случае мы получаем
10+n>x и x>10-n. Подставляем в эти неравенства значение x=30-3n:
10+n>30-3n и 30-3n>10-n; 4n>20 и 2n<20; 5<n<10, то есть n=6, 7, 8, 9.
ответ: 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.