В равнобедренном треугольнике ABC угол при основания AC равен 15° и AB = 6 см. Прямая m проходит через вер- шину А и параллельна стороне Вс. Вычислите расстояние между прямыми n и
Расстояние между двумя параллельными прямыми есть длина перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую.
. Пусть даны параллельные прямые m и k
Возьмём на прямой m произвольную точку А и проведем через неё перпендикуляр до пересечения с прямой k в точке В
Так как если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой, то углы, образованные отрезком АВ - и прямыми m и k - прямые.
Таким же образом выберем на некотором расстоянии от т.А точку D и проведем через неё перпендикуляр DC, который образует с прямыми m и k прямые углы.
Четырёхугольник АВСD- прямоугольник (все углы прямые). Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, АВ=СD, т.е точки А и D на прямой m равноудалены от прямой k. =>
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
-------------
Существуют и другие доказательства. Попробуйте найти их самостоятельно.
Так как задачи решаются аналогично, наметим план решения этих задач в общем виде:
В₁АDС₁ - данное сечение.
Проведем высоту ромба ВН. ВН - проекция наклонной В₁Н на плоскость основания, значит В₁Н⊥AD по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠В₁НВ - угол между плоскостью сечения и плоскостью основания (он дан в задачах).
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора найдем сторону ромба АВ:
АВ = √(АО² + ВО²)
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Sabcd = 1/2 · AC · BD
или произведению стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = AD · BH
BH = Sabcd / AD
Из прямоугольного треугольника В₁НВ найдем боковое ребро параллелепипеда, оно является высотой параллелепипеда:
Расстояние между двумя параллельными прямыми есть длина перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую.
. Пусть даны параллельные прямые m и k
Возьмём на прямой m произвольную точку А и проведем через неё перпендикуляр до пересечения с прямой k в точке В
Так как если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой, то углы, образованные отрезком АВ - и прямыми m и k - прямые.
Таким же образом выберем на некотором расстоянии от т.А точку D и проведем через неё перпендикуляр DC, который образует с прямыми m и k прямые углы.
Четырёхугольник АВСD- прямоугольник (все углы прямые). Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, АВ=СD, т.е точки А и D на прямой m равноудалены от прямой k. =>
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
-------------
Существуют и другие доказательства. Попробуйте найти их самостоятельно.
Так как задачи решаются аналогично, наметим план решения этих задач в общем виде:
В₁АDС₁ - данное сечение.
Проведем высоту ромба ВН. ВН - проекция наклонной В₁Н на плоскость основания, значит В₁Н⊥AD по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠В₁НВ - угол между плоскостью сечения и плоскостью основания (он дан в задачах).
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора найдем сторону ромба АВ:
АВ = √(АО² + ВО²)
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Sabcd = 1/2 · AC · BD
или произведению стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = AD · BH
BH = Sabcd / AD
Из прямоугольного треугольника В₁НВ найдем боковое ребро параллелепипеда, оно является высотой параллелепипеда:
tg∠B₁HB = BB₁ / BH
BB₁ = BH · tg∠B₁HB
Объем параллелепипеда:
V = Sосн · BB₁
7. ∠B₁HB = 45°, AC = 24, BD = 10.
AB = √(AO² + BO²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 24 · 10 = 120
BH = Sabcd / AD = 120 / 13
BB₁ = BH · tg 45° = 120/13 · 1 = 120/13
V = Sabcd · BB₁ = 120 · 120/13 = 14400/13
8. ∠B₁HB = 60°, AC = 16, BD = 12.
AB = √(AO² + BO²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 16 · 12 = 96
BH = Sabcd / AD = 96 / 10 = 9,6
BB₁ = BH · tg 60° = 9,6 · √3 = 9,6√3
V = Sabcd · BB₁ = 96 · 9,6√3 = 921,6√3