В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC. Длина высоты — 9,5 см, длина боковой стороны — 19 см.
Определи углы этого треугольника.

По заданным значениям апофемы А = 18 см и углу наклона боковой грани 
α = 60 ° находим:
 - высота Н = А*sinα = 18*(√3/2) = 9√3 ≈  15,588457 см,
 - радиус окружности. вписанной в основание r = A*cosα = 18*(1/2) = 9 см.
Отсюда определяем сторону а основания, равную радиусу описанной окружности.
а = r/(cos30°) = 9/(√3/2) = 18/√3 = 6√3 ≈  10,392305 см.
Периметр равен: Р = 6а = 6*(6√3) = 36√3 ≈  62,353829 см.
Теперь можно определить площадь Sбок боковой поверхности:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(36√3)*18 = 324√3 ≈  561,18446 см².

Дан прямоугольный треугольник с катетами "а" и "в".
Радиус "R" его описанной окружности равен 6,5, а радиус "r" вписанной окружности равен 2.

Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.
Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны а - 2 и в - 2.
По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:
а - 2 + в - 2 = 13  или а + в = 17.
По Пифагору 13² = а² + в².
Возведём в квадрат равенство а + в = 17:
а² + 2ав + в² = 289.    Заменим а² + в² = 169.
2ав = 289 - 169 = 120,
ав = 120/2 = 60.
Из выражения а + в = 17 выразим в = 17 - а и подставим в  ав = 60.
Подучим: а(17 - а) = 60   или 17а - а² = 60.
Получили квадратное уравнение а² - 17а + 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;a_2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.
Полученные результаты и есть размеры катетов.

ответ: катеты равны 5 и 12.