В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен
6 cм, а периметр треугольника равен
100 см.

Основание пирамиды - ромб. Большая диагональ d, острый угол =60°. Все двугранные углы при основании равны 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды. 
Двугранные углы при основании равны 60°, значит,  проекции апофем равны между собой и равны радиусу вписанной в данный ромб окружности. 
Сделаем рисунок пирамиды SABCD и отдельно ее основания АВСD.
АС=d
АО=d/2
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°⇒
∠ABC=180°-60°=120°
∠ABO=120°:2=60°
сторона ромба АВ=АО:sin 60°=d/√3
∠ОАВ=ОАD=60°:2=30°
ОН=АО:2=d/4 (противолежит углу 30°)
Апофема SH=OH/cos∠OHS= (d/4):cos60°=(d/4):1/2=d/2=0,5d
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме  площадей ее четырех боковых граней и основания. 
S ASD=AD*SH:2=[0,5d*d/√3];2=0,25d²/√3
Площадь боковой поверхности 
Ѕбок=4*0,25d²/√3=d²/√3
Площадь основания=площадь ромба
Треугольник АВD- равносторонний.
Высота ромба ВМ=АО=d/2
S ABCD=AD*ВМ=(d²/√3):2
Sполн==(d²/√3):2+d²/√3=3d²/2√3=(d²√3):2

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.