В прямоугольном треугольнике АВС, у которого C = 90* B = 30*
проведена биссектриса
AL = 16
. Из точки L проведена высота LK
треугольника ALB, из точки K проведена высота KM треугольника LKB,
а из точки M проведена высота MN треугольника KMB. Найдите MN.

Даны прямые и точки: 1)d: 3x+4y-1=0, A(2; -1);  2)d:x+3y+2=0, A(-2; 3).

Вычислить координаты основания перпендикуляра , проведенного из точки А на прямую d.

Есть общий определяем уравнение перпендикуляра и ищем точку пересечения, которая и является основанием перпендикуляра.

1) d: 3x + 4y - 1 = 0, A(2; -1).

Уравнение перпендикуляра имеет вид 4х - 3у + С = 0 (по свойству А1*А2 + В1*В2 = 0).

Для определения параметра С подставим координаты точки A(2; -1):

4*2 - 3*(-1) + С = 0,  С = -8 - 3 = -11.  4х - 3у - 11 = 0.

Решаем: 3x + 4y - 1 = 0|    x3     9x + 12y - 3 = 0

               4х - 3у - 11 = 0|   x4     16x - 12y - 44 = 0     сложим:

                                                     25x       - 47 = 0

  ответ:  x = 47/25 = 1,88.

               y = (4*(47/25) - 11)/3 = -87/75 = -29/25 = -1,16.

2) d: x + 3y + 2 = 0, A(-2; 3).

  Уравнение перпендикуляра: 3х - у + С = 0, подставим  A(-2; 3).

3*(-2) - 3 + С = 0,    С = 6 + 3 = 9.   Уравнение 3х - у + 9 = 0.

Пересечение:  x + 3y + 2 = 0                x + 3y + 2 = 0                                                                          

                         3х - у + 9 = 0   | x3 =   9х - 3у + 27 = 0

                                                              10x + 29 = 0

ответ:   x = -29/10 = -2,9.    

             y = 3*(-29/10) + 9 = (-87 + 90)/10 = 3/10 = 0,3.

Есть в Интернете готовая формула по координатам точек даёт ответ.

Но при уравнении прямой надо определить координаты точек, задаваясь координатой точки х, определить у.

В приложении (для любознательных) дана копия с файла Эксель для решения данной задачи.

▪Рассмотрим Δ ABC - осевое сечение данного конуса ( равнобедренный треугольник ) , тогда точка O - центр вписанного шара , точка Н - центр основания конуса, ОН = OM = ON = r , AH = HC = R , ∠А = а - искомый угол между образующей и основанием конуса.▪Точка О является центром вписанной окружности в Δ АВС ⇒  точка О - точка пересечения биссектрис  ⇒  ∠ВАО = ∠НАО = а/2 ▪В  ΔAHB:  BH = AH•tga = R•tga    B  ΔHAO:  OH = AH•tg(a/2) = R•tg(a/2)▪ Vконуса  = ( п•AH²•BH )/3 = ( пR²•R•tga )/3 = ( пR³tga )/3     Vшара = ( 4п•ОН³ )/3 = (  4п•R³•tg³(a/2)  )/3▪ Vконуса / Vшара = tga / 4tg³(a/2)  ;    tga = 2tg(a/2) /  1 - tg²(a/2)  ⇒   Vконуса / Vшара = 2tg(a/2) /  4tg³(a/2)•( 1 - tg²(a/2)  )  = 1 / 2tg²(a/2) - 2tg⁴(a/2)  = k   2k•tg⁴(a/2) - 2k•tg²(a/2) + 1 = 0   D = ( 2k )² - 4•2k = 4k² - 8k = 4•( k² - 2k )   4•( k² - 2k ) ≥ 0  ⇒  k ≥ 2   tg²(a/2) = ( 2k +- 2√(k² - 2k) )/4k = ( k +- √(k² - 2k) )/ 2k  ⇒  k = 9/4  ⇒   tg₁²(a/2) = 2/3  ⇒  tg(a/2) = √(2/3) ≈ 0,82   tg₂²(a/2) = 1/3  ⇒   tg(a/2) = √(1/3) ≈ 0,58 Из условия следует, что tg(a/2) = r / R  < 0,6  ⇒  tg(a/2) = √3/3  ⇒   a/2 = п/6  ⇒   а = п/3 = 60° ΔАВС - равносторонний ,  AB = BC = AC  ⇒  L = 2R = D ,  r = √3R/3ОТВЕТ: 60°