Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Первый признак Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны
Второй признак Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны
Третий признак Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Пусть и - такие треугольники, что , и .
Совместим треугольник с треугольником так, чтобы точка A совпала c и сторона AC пошла по . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка C совместится с , а вследствие равенства углов и сторона AB пойдет по , а вследствие равенства этих сторон точка B совпадет с , поэтому сторона CB совместиться с (так как две точки можно соединить только одной прямой). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.
а)Т.к. ∠Д=∠В=90°, то треугольники прямоугольные. В них АД=СВ- по условию,
ДВ-общая. Значит, треугольники АДВ и СВД равны по двум катетам.
№6 ΔСЕД=ΔСFД, ∠Е=∠F=90град.
СД -общая. ЕД=FД по условию, треуг. равны по катету и гипотенузе.
б) ΔАЕД=ΔВFД т.к. ∠АЕД=∠ДFВ = 90°, АД=ВД по условию,
ЕД=FД по условию. треуг. равны по гипотенузе и катету.
в) треугольники АСД И ВСД равны, т.к. составлены из двух равных, а именно АСД из треугольников АЕД И СЕД, треугольник ВСД составлен из треугольников ВFД и ДFС
№7.
а)ΔМSR=ΔNRS, в них ∠M=∠N=90°, ∠NRS=∠MSR по условию, RS-общая. Треугольники равны по острому углу и гипотенузе.
б) Если от равных треугольников NRS и MSR отнять один и тот же ΔRTS, то останутся равные треугольники, а именно
ΔRMT=ΔSNT
№8.
а)∠К=∠L=90°
ΔМLN =ΔNКМ. В них МN-общая, ∠М=∠N по условию, значит треугольники равны по острому углу и гипотенузе.
б)ΔКRМ=Δ LRN, (∠L=∠ К=90°) т.к. если от равных ΔМLN и ΔNКМ отнять один и тот же треугольник МRN, то останутся тоже равные треугольники.
№9. ΔАДЕ=ΔВFМ, в них ∠М=∠Е=90°, АД=FВ по условию,
и так как ДС=FC, то АС=СВ, и ΔАСВ- равнобедренный, в нем углы при основании равны. угол А равен углу В. Значит, треугольники равны по острому углу и гипотенузе.
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Первый признак
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны
Второй признак
Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны
Третий признак
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Пусть и - такие треугольники, что , и .
Совместим треугольник с треугольником так, чтобы точка A совпала c и сторона AC пошла по . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка C совместится с , а вследствие равенства углов и сторона AB пойдет по , а вследствие равенства этих сторон точка B совпадет с , поэтому сторона CB совместиться с (так как две точки можно соединить только одной прямой). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.
№10
а)Т.к. ∠Д=∠В=90°, то треугольники прямоугольные. В них АД=СВ- по условию,
ДВ-общая. Значит, треугольники АДВ и СВД равны по двум катетам.
№6 ΔСЕД=ΔСFД, ∠Е=∠F=90град.
СД -общая. ЕД=FД по условию, треуг. равны по катету и гипотенузе.
б) ΔАЕД=ΔВFД т.к. ∠АЕД=∠ДFВ = 90°, АД=ВД по условию,
ЕД=FД по условию. треуг. равны по гипотенузе и катету.
в) треугольники АСД И ВСД равны, т.к. составлены из двух равных, а именно АСД из треугольников АЕД И СЕД, треугольник ВСД составлен из треугольников ВFД и ДFС
№7.
а)ΔМSR=ΔNRS, в них ∠M=∠N=90°, ∠NRS=∠MSR по условию, RS-общая. Треугольники равны по острому углу и гипотенузе.
б) Если от равных треугольников NRS и MSR отнять один и тот же ΔRTS, то останутся равные треугольники, а именно
ΔRMT=ΔSNT
№8.
а)∠К=∠L=90°
ΔМLN =ΔNКМ. В них МN-общая, ∠М=∠N по условию, значит треугольники равны по острому углу и гипотенузе.
б)ΔКRМ=Δ LRN, (∠L=∠ К=90°) т.к. если от равных ΔМLN и ΔNКМ отнять один и тот же треугольник МRN, то останутся тоже равные треугольники.
№9. ΔАДЕ=ΔВFМ, в них ∠М=∠Е=90°, АД=FВ по условию,
и так как ДС=FC, то АС=СВ, и ΔАСВ- равнобедренный, в нем углы при основании равны. угол А равен углу В. Значит, треугольники равны по острому углу и гипотенузе.