В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом C катет AC = 24 см, а катет BC = 32 см. Какие значения у SIN острых углов данного треугольника. ответ дать с точностью до сотых.

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

1.
ΔMDN подобен ΔADB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DN:NB = 2:1, ∠D - общий)
⇒ MN:AB = 2:3, ∠DMN = DAB. Эти углы соответственные при пересечении прямых MN и АВ секущей DA, ⇒ MN║AB.

ΔNDP подобен ΔBDC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DN:NB = DP:PC = 2:1, ∠D - общий)
⇒ NP:BC = 2:3, ∠DNP = ∠DBC. Эти углы соответственные при пересечении прямых РN и СВ секущей DВ, ⇒ РN║СB.

ΔDMP подобен ΔDAC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DP:PC = 2:1, ∠D - общий)
⇒ MP:AC = 2:3.

MN║AB и РN║СB ⇒ плоскость MNP параллельна плоскости АВС.

MN:AB = NP:BC = MP:AC = 2:3 ⇒ ΔMNP подобен ΔАВС по трем пропорциональным сторонам.
Smnp:Sabc = 4:9
Smnp = 4Sabc/9 = 40/9 см² = 4 целых и 4/9 см²

2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
Точки M и N принадлежат плоскости (АВС) ⇒ проводим прямую MN.
MN - отрезок сечения.
MN∩AD = X,  MN∩DC = Y

Точки К и X принадлежат плоскости ADD₁. Проводим прямую KX.
KX∩AA₁ = L
KL  и LM - отрезки сечения.

Точки К и Y принадлежат плоскости CDD₁. Проводим прямую KY.
KY∩CC₁ = O.
КО и ON - отрезки сечения.

KONML - искомое сечение.