В прямом параллелепипеде в основании лежит параллелограмм ABCD с острым углом
30 о , меньшая диагональ равна 13 см, боковое ребро - 12 см. Чему равен радиус
окружности, описанной вокруг треугольника АBD в см?

1. Теорема: В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Дано:
треугольник АВС
АВ > АС
Доказать:
угол С > угла В.
Доказательство:
Отложим на строне АВ отрезок АD, равный стороне АС. Так как АD < AB, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно. угол 1 является частью угла С и, значит, угол С > угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDC, поэтому угол 2 > угла В. Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренноого треугольника АDC . Таким образом угол С > угла 1, угол 1 = углу 2, угол 2 > угла В. Отсюда следует, что угол С > угла В.
2) Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.
3) Я не поняла

Если боковые стороны относятся к основанию как 2:3, то можно обозначить их длину как 2х, тогда длина основания будет 3x. Зная периметр треугольника нетрудно определить значение x из уравнения:
2x+2x+3x = 112
то есть
x = 112/7 = 16

Теперь, что касается треугольника ABD.
AB = 2x = 16*2 = 32 (боковая сторона исходного треугольника).
BD = x = 16 (равна половине боковой стороны). 
AD = 3x/2 = 24 (половина основания).
Периметр ABD = 32 + 16 + 24 = 72
 
Треугольники BAD и BCD равны так как у них равны стороны. AB=BC (в равнобедренном треугольнике), BD=BD (общая сторона), AD=DC (как половинки основания ввиду того, то BD - медиана, то есть делит основание пополам).