В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны оснований равны 1 см и 2 см. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол в 30°. Найди объем усеченной пирамиды
Можно по т.Пифагора найти половину второй диагонали из одного из прямоугольных треугольников, на которые диагонали при пересечении делят ромб, и затем умножить на 2. Как правило, именно такой решения дается к подобной задаче. Есть другой решения этой задачи. Вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Т.е. d²+D²=2•(a²+b²) Ромб - параллелограмм с равными сторонами. Тогда d²+D²=4•a²⇒ 12²+D²=4•100 ⇒ D²=400-144=256 D=√256=16 см
В треугольнике АВС ОВ - биссектриса угла В, так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС. Или в треугольнике АВС ОК = ОР, так как ОВ - биссектриса. Нам дано и то и другое.
Треугольник АВС делится этой биссектрисой на два треугольника. Причем Sabc = Sabo + Scbo.
По Герону Sabc = √(p*(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника АВС, равный (32+48+40):2 = 60.
Sabc = √(60*20*28*12) = 240√7.
Sabo = (1/2)*h*AB =16*h.
Scbo = (1/2)*h*BC = 24*h.
240√7 = 16h +24h =40h => h = 6√7.
h = OK = OP.
ответ: ОК=ОР = 6√7 ед.
Или так:
Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как стороны, к которым проведена эта высота. то есть Sabo/Scbo = 32/48 = 2/3. Sabc = 240√7 (найдено выше) => Sabo = 96√7 => h =2S/AB = 192√7/32 = 6√7.
Как правило, именно такой решения дается к подобной задаче.
Есть другой решения этой задачи.
Вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Т.е. d²+D²=2•(a²+b²)
Ромб - параллелограмм с равными сторонами.
Тогда d²+D²=4•a²⇒
12²+D²=4•100 ⇒
D²=400-144=256
D=√256=16 см
В треугольнике АВС ОВ - биссектриса угла В, так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС. Или в треугольнике АВС ОК = ОР, так как ОВ - биссектриса. Нам дано и то и другое.
Треугольник АВС делится этой биссектрисой на два треугольника. Причем Sabc = Sabo + Scbo.
По Герону Sabc = √(p*(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр треугольника АВС, равный (32+48+40):2 = 60.
Sabc = √(60*20*28*12) = 240√7.
Sabo = (1/2)*h*AB =16*h.
Scbo = (1/2)*h*BC = 24*h.
240√7 = 16h +24h =40h => h = 6√7.
h = OK = OP.
ответ: ОК=ОР = 6√7 ед.
Или так:
Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как стороны, к которым проведена эта высота. то есть Sabo/Scbo = 32/48 = 2/3. Sabc = 240√7 (найдено выше) => Sabo = 96√7 => h =2S/AB = 192√7/32 = 6√7.