В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см и высота 5 см. Вычислить площадь боковой поверхности призмы.

Задача решается двумя Графически и алгебраически.
приложение №1):
Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см.
Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см.
 Радиус 5/2=2,5 см.

приложение №2):
Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника.
Радиус описанной окружности -
R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол.
Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей.
Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β).
R=СД/2sinβ=2/sinβ;
R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ.
Делим одно выражение на другое.
3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3
R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.

Величина острого угла  обозначаем α , тупого_ через β .
а) α +β =180°;
 α+3α =180° ;
4α =180° ⇒α =45° , β= 3α =135°. 
б) α+α =130° ;
2α =130°⇒α =65° , β =180° - α =180°-65° =115°.
в) α +β=180° ;
α +(α+40°) =180° ;
2α +40° =180°;  * * * 2(α+20°) =2*90°⇒α+20° =90°  , α =70°).
2α =180° -40°;
 2α =140° ;
α =70°⇒β =α+40° =70°+40° =110°.(  180° -70°=110°)
 г) α/β =2/3;   * * α=( 180°/(2+3) ) *2 =(180°/5)*2 =36°*2=72°, β=( 180°/(2+3) ) *3 =108° * *
α=2k , β =3k .
α +β=180° ;
2k +3k  =180°;
5k =180°;
k =36° ;
α=2k=2*36° =72°.
β =3k=3*36° =108°. 
д) α +β=180° ;   * * *α= β*20)/100 =β/5 * * *
(β*20)/100+β=180°;
β/5 +β =180° ;
β +5β  =5*180° ;
6β =5*180°;
β =(5*180°)/6 =5*30° =150°.
α =(β*20)/100=β/5 =30° (или иначе 180°- 150° =30°) ..