В правильной треугольной пирамиде боковая грань образует с плоскостью основания угол 60⁰, а расстояние от центра основания до бокового ребра равно \sqrt{21}. Найти объем пирамиды.

Так как призма вписана в шар, то она прямая, то есть, все ее боковые грани - прямоугольники.

Пусть катет, прилежащий к углу α треугольника равен a. Рассмотрим боковую грань, содержащую этот катет. Как указано выше, эта грань - прямоугольник. Его диагональ образует с одной из сторон угол β. Соответственно, другая сторона этого прямоугольника (высота призмы) равна a*tgβ. Второй катет прямоугольного треугольника в основании равен a*tgα.

Объем прямой призмы равен произведению площади треугольника в основании и ее высоты, значит, искомый объем V=1/2*a*a*tgα*a*tgβ=1/2a^3*tgα*tgβ

Бережливый немец Герман часто наблюдает за картежниками, но сам не играет. В его присутствии один игрок рассказывает, что его бабушка в свое время отыгралась в карты, узнав от авантюриста Сен-Жермена тайну трех выигрышных карт. Выясняется, что бабушка и еще кому-то выиграть, подсказала эти карты. Тогда Герман решает узнать тайну старухи. Для этого он втирается в доверие к ее бедной воспитаннице, ночью проникает в дом, наставляет на старуху пистолет, и вымогает секрет. Старуха умерла от стресса, ничего не сказав. Однако ночью он увидел ее во сне, и она назвала ему карты: тройка, семерка и туз. Утром он пришел в игорный дом, поставил все свое состояние - 47000, на тройку, и выиграл. На следующий день поставил 94000 на семерку, и опять выиграл. В третий день поставил 188000 на туза, и выпал туз. Но оказалось, что Герман обдернулся: при ставке вместо туза он вынул из колоды даму, и не проверил, положив ее сразу рубашкой вверх. Так он проиграл все, и сошел с ума.

Короче, об опасностях игры, жадности, и людях, готовых идти по трупам к цели.