В подобных треугольниках АВС и DMN сторона АВ-5 см. Площадь треугольника АВС 15 см, а площадь треугольника DMN равна 60 см. Найти сторону DM.

угол ВАС=углу ВСА=30 
угол СВА=180-2*30=60 
угол ВАЕ = половине ВАС, т. е. 15 
угол ВЕА= 180-ЕВА-ВАЕ=180-60-15=180-75 

теорема синусов для треугольника ВАЕ 
ВЕ/sin(15)=АВ/sin(180-75) => АВ=ВЕsin(180-75)/sin(15) 

теорема синусов для треугольника АВС 
АВ/sin(30)=АС/sin(60) => АС=АВsin(60)/sin(30) 

S=АВsin(30)АС/2=(ВЕsin(180-75)/sin(15))^2 *(sin(60)/sin(30)) *(1/2)=[32sqrt(3)]*(sin^2(75)/sin^2(15))=[32sqrt(3)]*(1-2sin^2(75)-1)/(1-2sin^2(15)-1))=[32sqrt(3)]*(cos(150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(90-150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(-60)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)/2+1)/(1-sqrt(3)/2))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)+2)/(2-sqrt(3))) 

В трапеции АВСД проведем среднюю линию и обозначим ее КN.
FBCH-квадрат,FC-диагональ и FC=6 корень из 2, тогда найдем СН, 
СН=FH=х, тогда х^2+x^2=(6 корень из 2)^2
2x^2=72, х^2=36  и х=6, а т.к. угол АВС=135, то угол НСД=45, следовательно треугольник СНД-равнобедренный, аналогично треугольник АВF-равнобедренный и эти треугольники равны.
ON и KQ- средние линии треугольников СНД и ABF( СН пересекается с KN в точке О; BF пересекается с KN в точке Q) соответственно, тогда они равны 3т.к. НД=СН=6,следовательно KN=KQ+QO+ON=3+3+6=12, а AL=6+6+6=18, тогда ВС найдем как ВС=2KN-АД=2*12-18=6