В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AB = 6 см и BC = 16 см (см. рис.). Высота призмы равна 13 см. а) Найдите объем данной треугольной призмы ( ).
б) Постройте сечение, проходящее через ребро AA1 и середину стороны BC. Укажите название фигуры, которая является сечением ( ).
в) Найдите площадь этого сечения ( ).
Решение и подробное объяснение:
1) Стороны AB и AC правильного треугольника ABC лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найти площадь треугольника ABC, если точки B и C удалены от прямой пересечений плоскостей на 3√2
Формула площади правильного треугольника
S=(а²√3):4
Рассмотрим рис.№1
Расстояние от В и С до прямой пересечений плоскостей - это проекции сторон АВ и АС на эту прямую.
Сторону треугольника найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника ВОС
Пусть АВ=ВС=АС=а
а²=(ВО²+ОС²)=(3√2)²+(3√2)²=36
а=6
S=(а²√3):4=36√3):4=9√3
------------
2) Концы отрезка AB лежат в двух перпендикулярных плоскостях и удалены от прямой их пересечения на 6 и 7. Найти длину отрезка AB, если расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек A и B к прямой пересечения, равны 6.
Рассмотрим рисунок №2.
АМ = расстояние от А до прямой пересечения плоскостей.
ВН - расстояние от В до прямой пересечения плоскостей.
Угол АНВ - прямой по теореме о трех перпендикулярах:
Если прямая (ВН), проведенная на плоскости через основание наклонной(АН), перпендикулярна её проекции (МН), то она перпендикулярна и наклонной.
В треугольнике АМВ отрезок АМ, лежащий в плоскости α, перпендикулярен линии пересечения плоскостей α и β, потому перпендикулярен ВМ, лежащему в плоскости β
ВН перпендикулярна НМ по условию ( расстояние от В до линии пересечения).
Найдем из треугольника ВМН сторону ВМ по тепореме Пифагора:
ВМ²=МН²+ВН²=72
Из треугольника АВМ найдем наклонную АВ:
АВ²=АМ²+ВМ²=49+72=121
АВ=√121=11
----------------
Можно АВ найти из треугольника АНВ:
АН=√(МН²+АМ²)=√(36+49)=√85
АВ=√(85+36)=√121=11
Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда
х=(-6+6)/2=0; у=(1-4)/2=-1,5.
Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда
х=(0+0)/2=0; у=(5-8)/2=-1,5.
Значит О1 совпадает с О2 - значит ABCD параллелограмм.
О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.
Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.
АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2
АС^2=12^2+(-5)^2
АС^2=144+25
AC^2=169
AC=13
BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2
BD^2=0^2+(-13)^2
BD^2=0+169
BD^2=169
BD=13
AC=BD
ABCD - прямоугольник