В основании четырёхугольной пирамиды трапеция с острым углом 30° и высотой 26 см. Боковые грани пирамиды, которые содержат короткое основание и короткую боковую сторону трапеции, образуют с плоскостью трапеции прямой угол и перпендикулярны одна другой. Остальные боковые грани образуют с плоскостью трапеции угол величиной 60°.

1. Определи вид трапеции, которая лежит в основании пирамиды.

2. Рассчитай площадь боковых граней пирамиды

Вся эта конструкция является частью замощения плоскости, представленного на рисунке.
Замощение переходит "в себя" при повороте всей плоскости на 90° вокруг центра любого из квадратов.
Все "белые" параллелограммы равны между собой. Отсюда следует а).
б) Фигура, изображенная красным на рисунке - это квадрат. Поскольку, к примеру, две её стороны, выходящие из центра большего квадрата, равны и перпендикулярны (еще раз - одна переходит в другую при повороте на 90° вокруг их общей вершины). То же касается и двух сторон, у которых общая вершина - центр меньшего квадрата.
Поэтому расстояние от M до центров квадратов одинаковое, и равно стороне красного квадрата. Проще всего найти диагональ этого квадрата - надо соединить центры большого и малого квадратов с точкой C и между собой. Получится треугольник O1O2C с углом O1CO2;
∠O1CO2 = ∠ACB + ∠O1CA + ∠O2CB = 30° + 45° + 45° = 120°; и сторонами AO1 = 6√2/2 = 3√2; BO2 = 10√2/2 = 5√2;
Отсюда (O1O2)^2 = (5√2)^2 + (3√2)^2 + 2*(5√2)*(3√2)*(1/2) = 2*49;
O1O2 = 7√2; откуда MO1 = MO2 = 7;

Стороны треугольника = 7, 15, 20 см, а расстояние от плоскости треугольника до центра шара, который касается  всех его сторон, равняется: 
а)2√3
б)3√5
Найдите радиус шара.


Всякое сечение шара плоскостью - круг. Плоскость треугольника пересекается с шаром по окружности, вписанной в данный треугольник. Точки касание сторон и шара - точки касания вписанной в треугольник окружности.
Чтобы найти радиус шара, нужно найти длину  отрезка, соединяющего  его центр с точкой касания со стороной треугольника.
Пусть радиус шара ОС будет R, радиус  О₁С вписанной в треугольник окружности -  r , расстояние от центра шара до плоскости треугольника  ОО₁- а.Тогда  по т.Пифагора 
R=√(a²+r²)
Радиус вписанной в треугольник окружности найдем по формуле
 r=S/p, где S - площадь треугольника, р- его полупериметр.
 p=(7+15+20):2=21
По формуле Герона площадь треугольника 
S=√21*(21-20)*(21-15)*(21-7)=√(21*1*6*14)=√(3*7*2*3*2*7)=2*3*7=42
r=42/21=2

a) OO₁=2√3
R=√((2√3)²+2²)=√16=4 cм

б) ОО₁=3√5
R=√((3√5)²+2²)=√49=7 см