В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Бічне ребро дорівнює найбільшому ребру основи. Знайдіть площу поверхні та обьєм призми.
Из заданной точки на гипотенузе проведём отрезки, перпендикулярные катетам. Получим 2 подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами 30 и 40 и квадрат со стороной "х". Треугольник с гипотенузой 30 имеет один катет "х", а второй обозначим "у". Треугольник с гипотенузой 40 имеет один катет "х", а второй по подобию равен (4/3)х. Найдём соотношение между х и у из подобия треугольников. х/у = ((4/3)х)/х. Отсюда х/у = 4/3 или у = 3х/4. По Пифагору х² + у² = 30². Заменим у на 3х/4: х² + (9х²)/16 = 30², 25х² = 30²*16 или 5²*х² = 30²*4². Отсюда находим х = 30*4/5 = 120/5 = 24. Тогда у = 3*24/4 = 18. Находим катеты: один равен 24 + 18 = 42, второй 24 + 4*24/3 = 24 + 32 = 56.
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.
Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.
2x-y+5=0 |x(-2) -4x+2y-10=0
x-2y+4=0 x-2y+4=0
-3x - 6 = 0,
x(A) = -6/3 = -2,
y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.
Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).
х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,
у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.
Через точку С проводим прямую, параллельную АД.
Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.
Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.
у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.
7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.
Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.
Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.
2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.
Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.
Треугольник с гипотенузой 30 имеет один катет "х", а второй обозначим "у".
Треугольник с гипотенузой 40 имеет один катет "х", а второй по подобию равен (4/3)х.
Найдём соотношение между х и у из подобия треугольников.
х/у = ((4/3)х)/х. Отсюда х/у = 4/3 или у = 3х/4.
По Пифагору х² + у² = 30².
Заменим у на 3х/4:
х² + (9х²)/16 = 30²,
25х² = 30²*16 или 5²*х² = 30²*4².
Отсюда находим х = 30*4/5 = 120/5 = 24.
Тогда у = 3*24/4 = 18.
Находим катеты:
один равен 24 + 18 = 42, второй 24 + 4*24/3 = 24 + 32 = 56.
Получаем ответ: периметр равен 42 + 56 +70 = 168.
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.
Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.
2x-y+5=0 |x(-2) -4x+2y-10=0
x-2y+4=0 x-2y+4=0
-3x - 6 = 0,
x(A) = -6/3 = -2,
y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.
Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).
х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,
у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.
Через точку С проводим прямую, параллельную АД.
Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.
Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.
у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.
7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.
Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.
Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.
2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.
Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.
Находим длины сторон.
AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) = 20 4,472135955
BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) = 20 4,472135955
CD = √((xD-xC)² + (yD-yC)²) = 20 4,472135955
AD = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 20 4,472135955 .
Находим длины диагоналей.
AC = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 72 8,485281374
BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) = 8 2,828427125 .
Как видим, это ромб.
Его площадь S = (1/2)*AC*BD = (1/2)*V72*V8 = 12.
Высоты равны h = S/a = 12/V20 = 12/(2V5) = 6V5/5.