Чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника ABC и А'В'С', у которых углы А и А' равны, гипотенузы АВ и А'В' также равны, а углы С и С' — прямые
Наложим треугольник А'В'С' на треугольник ABC так, чтобы вершина А' совпала с вершиной А, гипотенуза А'В' — с равной гипотенузой АВ. Тогда вследствие равенства углов A и А' катет А'С' пойдёт по катету АС; катет В'С' совместится с катетом ВС: оба они перпендикуляры, проведённые к одной прямой АС из одной точки В. Значит, вершины С и С' совместятся.
Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем систему координат следующим образом:
точку O примем за начало координат,
оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания,
а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM. Выразим координаты точек: A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0), D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,) R(2; 1; 15 .) Отрезок AR является высотой в равностороннем треугольнике AMC,
поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого
двугранного угла.
Проведем в треугольнике ADR высоту DH.
Тогда останется найти угол между прямыми MR и DH. Найдем координаты векторов:
MR = {2; 1;- корень из 15 } AR = {6; 3; корень из15 } DA = {- 8; 0; 0}. Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то
AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k} Далее из равенства DH=DA+AH получаем DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k }
Чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника ABC и А'В'С', у которых углы А и А' равны, гипотенузы АВ и А'В' также равны, а углы С и С' — прямые
Наложим треугольник А'В'С' на треугольник ABC так, чтобы вершина А' совпала с вершиной А, гипотенуза А'В' — с равной гипотенузой АВ. Тогда вследствие равенства углов A и А' катет А'С' пойдёт по катету АС; катет В'С' совместится с катетом ВС: оба они перпендикуляры, проведённые к одной прямой АС из одной точки В. Значит, вершины С и С' совместятся.
Треугольник ABC совместился с треугольником А'В'С'.
Следовательно, тр. АВС = тр. А'В'С'.
Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем
систему координат следующим образом:
точку O примем за начало координат,
оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания,
а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM.
Выразим координаты точек:
A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0),
D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,)
R(2; 1; 15 .)
Отрезок AR является высотой
в равностороннем треугольнике AMC,
поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого
двугранного угла.
Проведем в треугольнике ADR высоту DH.
Тогда останется найти угол между прямыми MR и DH.
Найдем координаты векторов:
MR = {2; 1;- корень из 15 }
AR = {6; 3; корень из15 }
DA = {- 8; 0; 0}.
Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то
AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k}
Далее из равенства DH=DA+AH получаем
DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k }
Теперь, используя условие DH ⊥ AR
имеем уравнение
6(6k – 8) + 9k + 15k = 0.
Отсюда k = 0,8 и DH = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . }
Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и
DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми
воспользуемся формулой :
cos ϕ=
в числителе | - 6, 4 + 2, 4 - 12 |
в знаметалеле под первым корнем : корень из 20 умнижить на корень из 25,6
получаем cos ϕ= корень из 2 на 2
Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными
плоскостями равен = π/4
ответ: π/4