В одной грани острого двугранного угла проведена прямая под углом 30 градусов к другой грани и под углом 45 градусов к ребру.Вычислите двугранный угол.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости.

ВD и АС лежат в одной плоскости и пересекаются, т.к. они являются диагоналями параллелограмма.

Точка О - середина отрезка АС (по условию). МА=МС (по условию). Т.е. точка М равноудалена от концов отрезка АС. Значит точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АС.

Следовательно МО⊥АС.

Точка О - середина отрезка ВD (по условию). МВ=МD (по условию). Т.е. точка М равноудалена от концов отрезка ВD. Значит точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВD.

Следовательно МО⊥ВD.

Получается, что прямая МО перпендикулярна двум пересекающимся прямым: АС и BD, лежащим в одной плоскости (АВС).

Следовательно МО перпендикулярна плоскости (АВС), т.е. плоскости параллелограмма.

Ч.т.д.

Нужно сначала найти радиус основания конуса.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Значит радиус основания конуса, как описанной окружности, равен половине гипотенузы вписанного треугольника.

Пусть это ∆ АВС∠С=90º∠А=30º

АС=2а

ГипотенузаАВ=АС:cos 30º=4a÷√3

R=АО=ВО=ОС=2a÷√3

Катет - ВС=2a÷√3 как противолежащий углу 30º

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами. Проведенными к точке О и М из точки К катета АС (МК - наклонная, ОК - ее проекция, МК и ОК перпендикулярны АС по т. о трех перпендикулярах). К - середина основания АС равнобедренного ∆ АОС

Так как угол ОКА=90º, ОК|| ВС и является средней линией ∆ АВС и равна половине ВС.

ОК=ВС:2=а/√3

Высота пирамиды МО перпендикулярна плоскости основания, угол МКО=45º по условию, и ∆ МОК - равнобедренный. МО=ОК=а÷√3

S осн. конуса=πR²=4π•a²÷3

V=[(4π•а²÷3)•a÷√3]:3=4π•a³÷√3 (ед. объема)

(изображение взято из других работ)