В конус, радиус основания которого равен 2√3, вписана правильная треугольная пирамида. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем пирамиды ОЧЕНЬ НАДО

W, V - центры

Проведем WK⊥AE, VL⊥AE

BK=1, DL=1 (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам)

AK=3, AL=6

Проведем WN⊥VL

Понятно, что W - середина AV, N - середина VL

WK=VN=NL=x

Rw =WB =√(WK^2+BK^2) =√(x^2+1)

Rv =VD =√(VL^2+DL^2) =√(4x^2+1)

WV =Rw+Rv (точка касания лежит на линии центров)

WV =√(VN^2+WN^2) => Rw+Rv =√(x^2+9)

√(x^2+1) + √(4x^2+1) = √(x^2+9)

x^2 +1 +4x^2 +1 +2√(x^2+1)√(4x^2+1) = x^2 +9

4(x^2+1)(4x^2+1) = (7-4x^2)^2    // при 7-4x^2 >=0 => x<=√7/2

16x^4 +16x^2 +4x^2 +4 = 49 -56x^2 +16x^4

76x^2 = 45 => x=√(45/76)

Rw =√(45/76 +1) =√(121/76) =11/2√19

Rv =√(4*45/76 +1) =√(256/76) =8/√19

√5,89

Объяснение:

Вот рисунок.

Отрезок AM = m (медиана) дает 4 прямоугольных треугольника.

Так как M - середина BC, то BM = CM = d.

По теореме Пифагора для этих треугольников:

{ m^2 = (5-b)^2 + 2^2 = 25 - 10b + b^2 + 4

{ d^2 = 2^2 + b^2 = 4 + b^2

{ m^2 = (4-c)^2 + x^2 = 16 - 8c + c^2 + x^2

{ d^2 = x^2 + c^2

Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение, а 4 уравнение в 3 уравнение:

{ m^2 = 25 - 10b + d^2

{ m^2 = 16 - 8c + d^2

Приравниваем правые части:

25 - 10b + d^2 = 16 - 8c + d^2

Приводим подобные:

10b - 8c = 9

b = (8c + 9)/10

Так как мы не знаем угол А, то и не можем вычислить b и с.

Можем только найти их соотношение друг к другу.

Например, при c = 1 будет b = (8 + 9)/10 = 1,7

Тогда приравняем правые части во 2 и 4 уравнениях:

4 + b^2 = x^2 + c^2

И подставим найденные значения:

4 + 1,7^2 = x^2 + 1^2

x^2 = 4 + 2,89 - 1 = 5,89

x = √5,89 ≈ 2,427