Відрізок ав не перетинає площину а і не паралельний їй. через кінці відрізка і точку м цього відрізка проведені паралельні прямі аа1, вв1, мм1. знайти відрізок а1в1, якщо відомо ам: мв=2: 3. а1м1=4 см, ав=15 см

Угол В =  90 — 30 = 60.  Пусть  ВМ  =  биссектриса угла В. 
Она делит угол на два угла по 30 градусов.
   Рассмотрим треугольник ВМС  —  он прямоугольный и  
угол МВС  =  30 градусов, значит  МС = 1/2 ВМ.
Пусть  МС = y,  тогда  ВМ = 2y,
тогда по теореме Пифагора  ВМ²  =  МС²  + ВС²
                                            ( 2y) ²  = y²  +  (16√3)²
                                               3y²  = 16² * 3
                                                y²  = 16²
                                                y  = 16
  =>  ВМ = 2y = ВМ = 2*16=32

Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Признаки:
1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если нужны доказательства - напиши.