1) Пусть дан пареллелограм ABCD, т.K,L,M,N - средины сторон AB,BC,CD,AD соответственно. BC||KM||AD и AB||LM||CD. KBLO- параллелограм и ΔKBL=ΔKLO, аналогично можно доказать равенство и остальных треугольников, а это значит что площадь KLMN равна половине площади ABCD, то есть площадь KLMN=20/2=10
2) Дано трапеция ABCD,AB||CD, т. O- точка пересечения диагоналей
ΔAOB подобный ΔDOC,как имеющие равные углы AOB и DOC и лежащих между параллельными прямимы.
В подобных треугольниках площади относятся как квадраты коэффициентов подобия, то есть AOB:COD=1:9
АО = m; OC = n; MO = x; OН = y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН - h2, высоту трепеции - h;
Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношения
x/b = m/(m+n);
h1/h = m/(m+n);
x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;
y/a = n/(m+n);
h2/h = n/(n+m);
y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;
По условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем
a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче :)))
n/m = корень(b/a);
x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));
y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));
складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.
1) Пусть дан пареллелограм ABCD, т.K,L,M,N - средины сторон AB,BC,CD,AD соответственно. BC||KM||AD и AB||LM||CD. KBLO- параллелограм и ΔKBL=ΔKLO, аналогично можно доказать равенство и остальных треугольников, а это значит что площадь KLMN равна половине площади ABCD, то есть площадь KLMN=20/2=10
2) Дано трапеция ABCD,AB||CD, т. O- точка пересечения диагоналей
ΔAOB подобный ΔDOC,как имеющие равные углы AOB и DOC и лежащих между параллельными прямимы.
В подобных треугольниках площади относятся как квадраты коэффициентов подобия, то есть AOB:COD=1:9
Задачка симпатичная, хотя и простая.
Введем обозначения для краткости записи формул.
АО = m; OC = n; MO = x; OН = y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН - h2, высоту трепеции - h;
Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношения
x/b = m/(m+n);
h1/h = m/(m+n);
x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;
y/a = n/(m+n);
h2/h = n/(n+m);
y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;
По условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем
a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче :)))
n/m = корень(b/a);
x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));
y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));
складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.
ответ МН = корень(a*b);