В четырёхугольнике выполнены равенства и . Биссектриса угла пересекает диагональ в точке , а сторону — в точке . Прямая, симметричная относительно прямой , пересекает прямую в точке .

ответ: 6

Объяснение: Итак AC=7 и  BD=6 - диагонали трапеции, AD= 8 и ВС=3 - основания трапеции. Проведем через С  отрезок СК  параллельный BD , где К- точка пересечения с прямой основаня AD.  Имеем треугольник АСК  со сторонами АС=7, СК=6, АК= 8+3=11.

DK=ВС=3, так как ABDK- параллелогамм по построению.

Заметим, что площадь треугольника АСК равна площади трапеции ABCD, т.к. треугольник ACD  общий , а треугольники АВС и CDK имеют одинаковую площадь.  ( ВС=DK - основания треугольников, а высота, проведенная к основанию у обоих треугольников есть высота трапеции ABCD, т.е. тоже равны)

Найдем площадь треугольника АСК по теореме Герона.

Sack= =

p= (7+6+11)/2=12

41) △ABC - равносторонний, все углы по 60°.

Рассмотрим △FCE

∠FEC=90°, ∠С=60°, ∠F=90°-∠C=30°

Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.

CE=FC/2=(8+12)/2=10

AE=AC-CE=12-10=2

42) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.

Пусть AD=...=x, BS=...=y

S(EBN)/S(ABC) =BE*BN/BA*BC =3x*3y/5x*4y =9/20

Треугольники SNE и EBN имеют общую высоту из вершины E.

Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.

S(SNE)/S(EBN) =SN/BN =2y/3y =2/3

S(SNE)/S(ABC) =2/3 *9/20 =3/10

43) Продлим CB и DA до пересечения в точке E.

△ABC - равносторонний, все углы по 60° (∠E=180°-∠C-∠D=60°)

△EBA - прямоугольный с углом 30° (∠EBA=90°-∠E=30°)

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Пусть EA=y, тогда EB=2y

EC=ED=CD => 2y+6 =y+8 => y=2

CD=8+2=10