В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Кроме того, внутри него существует такая точка O, что AO = OD, BO = CO.
Докажите, что диагонали этого четырехугольника равны.

Рассмотрим ∆BOA и ∆COD.

BO=CO по условию;

AB=CD по условию;

АО=DO по условию;

Следовательно ∆ВОА=∆COD по трём сторонам.

Исходя из равенства: угол АВО=угол DCO как соответственные углы равных треугольников. Пусть каждый из этих углов равен х.

Так как ВО=СO, то ∆ВОС – равнобедренный с основанием ВС.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть угол СВО=угол ВСО.

Пусть каждый из них равен z.

Угол АВС=угол АВО+угол СВО=х+z;

Угол DCB=угол DCO+угол ВСО=х+z;

Получим что угол АВС=угол DCB.

Рассмотрим ∆АВС и ∆DCB.

ВС – общая сторона;

Угол АВС=угол DCB (доказано ранее)

АВ=CD по условию;

Следовательно ∆АВС=∆DCB по двум сторонам и углу между ними.

Значит АС=BD как соответственные стороны равных треугольников.

Доказано.