В четырехугольник вписана окружность стороны четырехугольника соответственно равны 4 см 5 см и 6 см радиус этой окружности равен 4 найдите четвертую сторону и площадь четырехугольника.

В любом треугольнике сумма длин двух наименьших сторон строго больше длины наибольшей стороны. Переберём все возможные тройки из данных 5 стержней и проверим, выполняется ли это неравенство.

(2,5,9) - не подходит
(2,5,11) - не подходит
(2,5,17) - не подходит
(2,9,11) - не подходит
(2,9,17) - не подходит
(2,11,17) - не подходит
(5,9,11) - подходит
(5,9,17) -  не подходит
(5,11,17) - не подходит
(9,11,17) - подходит

Таким образом, из 10 вариантов есть только две возможные тройки - стержни длиной 5, 9, 11 и 9, 11, 17 дециметров.

Чисто геометрически   задача решается   легко.
4  угол  четырехугольника PBKM равен   360-90*3=90.
Таким образом PBKM-прямоугольник.
Проведем вторую диагональ   прямоугольника  BM.
То  BM=PK (как  диагонали прямоугольника)
ТО наименьшая PK  будет   при наименьшей BM.
А  длинна отрезка BM,является наименьшей  когда является высотой. (тк перпендикуляр  всегда меньше наклонной)
Таким образом  для нахождения этой точки  достаточно провести высоту прямого угла треугольника.  Пересечение высоты и гипотенузы и есть  данная точка.
Все гениальное  просто :)