В ΔABC провели биссектрису BD и медиану CM. BC=5, AC=4, S( ΔABC)=53. Найдите отрезок BF, если F-точка пересечения BD и CM(разрешается округление до десятых во время промежуточных вычислений)

Объяснение:

EC = GC = 5 см, BE = BF = 7.5 см. Пусть AF = AG = x, тогда

AB = AF + BF = x + 7.5 см

AC = AG + GC = x + 5 см

BC = BE + CE = 7.5 + 5 = 12.5 см

По т. Пифагора:

(x+7.5)² + (x+5)² = 12.5²

(x+7.5)² - 12.5² + (x+5)² = 0

(x+7.5+12.5)(x+7.5-12.5) + (x+5)² = 0

(x+20)(x-5) + (x+5)² = 0

x² - 5x + 20x - 100 + x² + 10x + 25 = 0

2x² + 25x - 75 = 0

D = 625 + 600 = 1225

x₁ = (-25 + 35)/4 = 2.5 см

x₂ = (-25-35)/4 < 0 - не подходит.

Имеем: AB = 2.5 + 7.5 = 10 см, AC = 2.5 + 5 = 7.5 см.

P = 12.5 + 10 + 7.5 = 30 см

S = AB*AC/2 = 10*7.5/2 = 37.5 см²

Искомое расстояние равно 2√13 см.

Объяснение:

Определение: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).

Пусть дан двугранный угол и точка Q внутри него.

Расстояния от точки Q до граней двугранного угла (перпендикуляры QR и QP) равны QR=2см и QH= 5см.

Угол RPH = 60° по определению.

Рассмотрим прямоугольные треугольники QRP и QHP с общей гипотенузой QP - искомым расстоянием от точки Q до ребра АВ. Пусть в треугольнике QRP угол RQP= x°, тогда в треугольнике QНP  угол HQP = (60-x)°.

Тогда из треугольника QRP гипотенуза QP = 2/Sinx, а из треугольника QHP QP = 5/Sin(60-x).

2/Sinx = 5/Sin(60-x) =>  Sin(60-x)/Sinx = 5/2.

По формуле приведения

Sin(60-x) = sin60*cosx - cos60*sinx = (√3/2)*cosx - (1/2)*sinx.

Тогда ((√3/2)*cosx - (1/2)*sinx)/sinx = (√3/2)*ctgx - 1/2) = 5/2.  =>

ctgx = 3*2/√3 = 2√3. Из треугольника QRP:

Ctgx = PR/QR (отношение прилежащего катета к противолежащему).  =>  PR = QR*ctgx = 2*2√3 = 4√3.

По Пифагору QP = √(QR²+PR²) = √(4+48) = √52 = 2√13 см.

ответ: QP = 2√13 см.