Установіть відповідність між радіусом кола (1-4) і його значенням (А-Д)
1. Радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника зі стороною b. 2.Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною b.
3. Радіус кола, вписаного в квадрат зі стороною b.
4.Радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною b.
А)
Б)
В)
Г)
Д) b

1)

  Пирамида правильная, диагональное сечение - равнобедренная трапеция АА1С1С с основаниями АС=9√2 и А1С1=3√2 

Высота С1Н=СН•tg60°

CН=(АС-А1С1):2=3√2=>

C1H=3√2√2=6 

S(AA1C1C)=(AC+A1C1)•CH:2=(9√2+3√2)•6:2=36√2 (ед. площади).

2)

  Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции. 

S (бок) равна сумме их площадей. 

  Для решения задачи необходимо найти стороны оснований и их высоту. 

Формула площади правильного треугольника

S=(a²√3):4=>

a²=4S:√3

AB²=4•36√3:√3=144 => AB=√144=12

А1В1²=4•9√3:√3=36 => A1B1=√36=6 

Основания правильной усеченной пирамиды параллельны, поэтому подобны.

k=A1B1:AB=12:6=1/2

Проведем в ∆ АВС высоту СН, в боковой грани АА1ВВ1 высоту НН1. 

СН⊥АВ и АН=ВН

НН1⊥АВ и АН=ВН

 Двугранный угол равен линейному углу между лучами, проведенными в гранях двугранного из одной точки его ребра перпендикулярно к нему.=>

Угол Н1НС=60°. 

Точка О - центр правильного ∆ АВС ( в ней пересекаются его медианы) . Поэтому СО:ОН=2:1,  ОН=СН:3

СН=ВС•sinCBH=12¨√3/2=6√3.

ОН=2√3 

В трапеции НН1С1С опустим высоту Н1К.

 ОК=О1Н1=ОН:2=√3

КН=ОН-ОК=√3

Из прямоугольного ∆ НН1К гипотенуза НН1=НК:cos60°=(√3):√3/2=2

S(AA1B1B)=(AB+A1B1)•HH1:2=18

S(бок)=3•18=54 (ед. площади)

Обозначим a - меньший угол параллелограмма, лежащнго в основании, д1 - длину  большой диагонали паралелограмма, лежащего в основании паралллелепипеда, д2 - длину малой диагонали паралелограмма, лежащего в основании паралллелепипеда, Д1 = 7 - большую диагональ параллелепипеда, Д2 = 5 меньшую диагональ параллелепипеда, Н - высоту параллелепипеда, sqrt - корень квадратный.

По теореме Пифагора:

H^2 + д1^2 = Д1^2  (1)

и

H^2 + д2^2 = Д2^2   (2)

По теореме косинусов:

д1^2 = 3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a  (3)

д2^2 = 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a   (4)

Подставим (3) и (4) в (1) и (2)

H^2 + 3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a = 25 (5)

H^2 + 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a = 49  (6)

Сложим (5) и (6)

2(H^2 +3^2 + 4^2) = 74

H^2 +9 + 16 = 37

H^2 = 12

Н = 2sqrt (3)

Вычтем (5) из (6)

2 * 2*3*4*cos a = 24

2 *24*cos a = 24

cos a =0,5

а = 60гр.

sin 60р = 0,5sqrt(3)

Площадь основания S = 3 *4 * sin 60 = 12 *0.5 sqrt(3) = 6sqrt(3)

Объём параллелепипеда V = S *H = 6sqrt(3) * 2sqrt (3) = 12 * 3 = 36